Сам Готфрид Лейбниц рассматривал кривые линии как ломаные, состоящие из бесконечно малых прямых отрезков. Так было их проще описывать. Эти бесконечно малые величины Лейбниц называл дифференциалами и обозначал как dx и dy, подразумевая под ними бесконечно малые приращения соответствующих переменных. Само понятие функции на тот момент было развито слабо. Речь шла об установлении зависимостей между разными величинами при их почти мгновенных приращениях, которые в конце можно было и отбросить. Идея великолепная и естественная! Но возникала проблема. Можно ли считать дифференциалы переменными? Современники Ньютона и Лейбница ухищрялись решать задачи, выбирая конкретные дифференциалы переменными, а другие меняли. Это превратилось в целое искусство. Кстати, Исаак Ньютон использовал другие обозначения. У него производная называлась флюксией (обозначалась точкой сверху), а аналог дифференциала моментом. Функция была потоком величины – флюентой. Знак интеграла у Ньютона – это просто квадрат, который он пишет перед выражением или просто обводит им интегрируемую величину.

Обозначения Лейбница прижились больше в силу большего удобства. Однако в современной математике потеряли первоначальный смысл. Знак интеграла в виде стилизованной буквы S Лейбниц ввёл позже. Изначально он писал I, а ещё раньше omn от латинского «omnis», что означает «весь» или «всё». Знак дифференциала d происходит от слова от латинского «differentia» – «разность» или «различие» Он мыслил знаки интеграла и дифференциала как операторы, которые взаимно уничтожают друг друга. В связи с чем, его доказательство основной теоремы анализа (формулы Ньютона-Лейбница) выглядит невероятно простым, до наивности.

Что изменилось впоследствии? После работ Огюстена Коши, Карла Вейерштрасса и других учёных исчисление преобразилось до неузнаваемости и перестало быть противоречивым.

Вся суть матанализа в нескольких графиках!

Под интегралом сегодня понимается предел суммы. Под производной – угловой коэффициент касательной. Дифференциал же вообще перестал быть бесконечно малой величиной. Теперь это приращение ординаты y касательной при приращении аргумента x, и эта величина может быть любого размера. Если удобно, её всё ещё можно мыслить и как бесконечно малую. Работать уравнения будут всё равно одинаково.

А раз работать будет, то нам всё-таки проще мыслить все эти величины как их основатели. Это привнесёт большую наглядность в наши исследования.

Бросив взгляд на историю становления матанализа, давайте пробежимся по основным его столпам. Чтобы получить производную функции, мы рассматриваем отношение разницы значения функции и значения аргумента в окрестности какой-то точки. Это отношение равно тангенсу наклона секущей, проведённой через данные точки. Если мы уменьшаем приращение аргумента до ноля, то секущая вырождается в касательную. Тангенс касательной – наилучшее приближение для мгновенной скорости! И он-то как раз и будет равен отношению того, что называют дифференциалами – приращение ординаты касательной к её аргументу! Всё сошлось!

Пригодится помнить!

Алгебраически тоже всё просто. Мы прибавляем к аргументу функции бесконечно малую величину, вычитаем из неё неизменённую функцию и делим на бесконечно малую как на число. После алгебраических преобразований получаем удобный ответ, в котором полагаем бесконечно малую равной нолю (устремляем к нолю).

Интегрирование возникает, если мы пытаемся вычислить площадь под кривой функцией. Под прямыми линиями нам хватило бы обычной геометрии. А тут нам приходится разбивать пространство под изогнутой непрерывно фигурой на маленькие участочки, в каждом из этих интервалов рассматривать узкие прямоугольнички и делать их бесконечно малыми. В пределе мы получим интеграл – площадь под кривым графиком.