Как увидеть, что интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными операциями? Для этого достаточно всего лишь рассмотреть площадь под графиком как функцию аргумента. Чем больший аргумент мы берём, тем больше площадь. Что будет являться дифференциалом такой функции? Разумеется, бесконечно малый прямоугольничек, вычисляемый как значение функции, умноженное на бесконечно малое приращение dx. Если разделить выражение для дифференциала площади на это приращение, мы получим, что производная площади – это как раз наша функция! Всё, связь установлена.

Так легко прийти к формуле Ньютона-Лейбница. Но не позволяйте этому стать для вас просто формулой. Всмотритесь вглубь. Как её можно понять на пальцах? Под интегралом стоит производная функции, умноженная на dx. Значит, на деле мы имеем просто сумму изменений функции. Шаг вверх, потом вниз, потом опять вверх и так далее. Топчась вверх и вниз, в итоге где мы окажемся? Каково расстояние между точкой старта и точкой финиша? Конечно же, разность значений функции в этих точках, всё остальное скомпенсировалось и вычлось! Это же так просто и очевидно!

Многообразие – это, по сути, искривлённое пространство, которое выглядит плоским в небольшой локальной области. Самый известный пример многообразия – поверхность Земли. Недаром её тысячелетия считали плоской! На большом расстоянии поверхность земли представляет собой сферу геоид. Но для нас, наблюдателей, живущих на поверхности, земля выглядит плоской в небольшой локальной области. Это позволило Евклиду построить именно плоскую геометрию имени себя, а не риманову. Помимо сфер, к наиболее знакомым примерам многообразий относятся цилиндры, бублики, седловидные поверхности, лента Мёбиуса и бутылка Клейна. Кстати, бутылка Клейна – это результат склеивания двух лент Мёбиуса. Их невозможно соединить полностью в трёхмерном пространстве, но если выйти в четвёртое измерение и проедать это, получим бутылку Клейна. Существуют также многообразия с краем (типа диска). И неориентируемые многообразия, примером которой и является уже упомянутая лента Мёбиуса, обладающая всего лишь одной стороной. Если в многообразии есть понятие расстояния между двумя точками, мы называем его римановым многообразием. Но давайте задумаемся, как вообще можно измерять расстояния? В плоскости мы можем это делать с помощью метрического тензора. Помещаем в него вектор, соединяющий точки, два раза, на выходе получаем квадрат длины. А как научиться делать это в кривом пространстве? Да и как вообще в подобной структуре дела обстоят с векторами? Векторы – это стрелки. Разве не будут они торчать ёжиком в случае кривого многообразия? Или нам стоит их тоже изгибать, как и само пространство? Как вообще математически описать линию в кривом пространстве? Давайте разбираться!

Отображение плоскости на поверхность. Видно, как ведёт себя линия из плоскости после проекции в кривом пространстве.

Для простоты рассмотрим двумерную кривую поверхность. Первый вопрос, который нужно задать. Как математически описать двумерную поверхность, помещённую в трёхмерное пространство? Карты и атласы – это да. Но в деталях, как это реализуется на практике? Ну, на практике самое простое – это взять двухмерную плоскость с координатами и предъявить какую-либо удобную функцию, которая растянет и преобразует плоскость, «накинув» её на двухмерную поверхность. По сути, мы берём каждую точку пространства и присваиваем ей координаты в трёхмерном пространстве.

Как нам нарисовать кривые на сфере? Или, в более общем случае, как перенести кривую из плоскости на нашу поверхность? Для этого мы берём уравнение пути и пропускаем его через функцию, отображающую плоскость в поверхность, и получаем результат – путь внутри поверхности! Если всё сделано правильно, то можно заметить, что путь пересекает координатную сетку на поверхности точно так же, как он это делал в плоскости.