Векторы внутри кривого пространства можно ввести, если вспомнить, что ими задаётся, например, скорость изменения параметра кривой. Всё как и с функцией. Берём два радиус-вектора, показывающих положение точки на кривой, принадлежащей поверхности. Устремляем разницу между ними к нолю. Вектор смещения точки, который, вообще говоря, может прокалывать саму поверхность, превращается в стрелку, касательную к кривой.

Каждая точка многообразия имеет касательное пространство, в котором живут векторы.

Мы и так уже морально готовы к тому, что в кривых пространствах будем работать с локальными картами, эмитирующими евклидову геометрию. Поэтому, слегка поразмыслив, так же поймём и смиренно примем, что вектора можно относить лишь к каждой точке многообразия отдельно. В одной точке мы имеем всевозможные вектора, которые могут смотреть по касательной в противоположных направлениях. В другой точке будет другое касательное направление. Значит, имеет смысл говорить, что вектора на многообразиях живут лишь в касательных пространствах, которые имеются в каждой их точке. Множество всех касательных пространств данного многообразия называют касательным расслоением. Ковекторы тоже живут в касательном пространстве, иначе они бы не могли есть вектора, выдавая число. Такое множество касательных пространств для ковекторов называют кокасательным расслоением.

Раз мы поняли, где живут векторы и ковекторы, то и тензоры построить совсем просто. Тензоры типа (r;s) на гладком многообразии M живут в тензорных расслоениях типа (r;s), обозначаемых как T (r;s) M. Эти расслоения строятся как тензорные произведения касательного TM и кокасательного TM∗ расслоений.

Многообразие можно изучать несколькими способами. Мы можем представить, что находимся снаружи и смотрим на него из пространства большего числа измерений. Так более наглядно, но не всегда бывает возможно реализовать. Можно смотреть на многообразие изнутри, например, как австралопитеки смотрели на поверхность земли, или мы смотрим на пространство-время вселенной.

И такой взгляд изнутри кривого пространства заставляет нас немного пересмотреть наши основные понятия. Да, локально у нас всё плоско. Но нам некуда тыкать векторами, ведь в окрестности соседней точки всё будет совсем иначе. Когда мы рисуем вектор на плоскости, он выглядит как стрелка с направлением и длиной. Но что происходит, если пространство искривлено? Например, поверхность сферы или холмистая местность. Здесь координатные оси могут изгибаться от точки к точке, и обычные стрелки теряют смысл. Нужен способ описывать направления и скорости, который работает в любой системе координат.

При переходе от одной системы координат к другой, в криволинейном случае, матрицы перехода для векторов состоят из частных производных и называются якобианами.

Представьте, что вы идёте по глобусу. Если в точке A вы нарисуете стрелку «на север», а в точке B – тоже «на север», эти стрелки не будут параллельны из-за кривизны Земли. В искривлённых пространствах нельзя просто «перенести» вектор из одной точки в другую. Координатные системы локальны и зависят от точки. Возникает закономерный вопрос: как определить вектор так, чтобы он не «ломался» при смене координат и работал на всём многообразии? Подумайте. Сопоставляйте всё, что вам известно уже о многообразиях, функциях и полях.

Векторы как операторы неизбежно возникают, если вы живёте внутри многообразия.

Ответ кроется в том, как векторы взаимодействуют с функциями. Пусть у нас есть некоторая гладкая функция f (например, температура) на многообразии. Вектор в точке p должен отвечать на вопрос: «С какой скоростью меняется