«Хотите нанести весь мир на один лист? Придётся пожертвовать либо Аляской, либо здравым смыслом», – вздыхают картографы. Аналогично дело обстоит и с пространством-временем нашей вселенной, на которое даже снаружи неоткуда взглянуть.

Если что, всё вышеописанное – многообразия, карты, атласы – это математические термины! Да, именно так, без изменений эти слова перекочевали в дифференциальную геометрию из географии.

Говоря более строго, многообразием называется пространство, которое локально можно отобразить в евклидово пространство. То есть в микро-масштабе оно кажется плоским. Покрытие локальной картой также является отображением из евклидова пространства на задающее многообразие. Атлас – это просто набор карт. Можно составить несколько атласов, содержащих карты, по-разному покрывающие одно и то же многообразие.

Задание внутренних координат на многообразии.

Таким образом, если у нас есть какое-то сложное многообразие, то мы для ориентации в нём можем подстилать себе небольшие и понятные евклидовы коврики в окрестности каждой точки и перепрыгивать на следующие коврики. И вроде как всё в порядке, мы можем двигаться так сколь угодно далеко и ориентироваться, переходя с одной карты на другую с помощью специальных отображений – функций перехода.

Можно использовать внешние координаты.

Нагляднее это можно увидеть на самом простом примере – окружности. Одной картой её не покрыть. И вот почему. Представьте, что вы пытаетесь развернуть обруч в прямую линию. Если разрезать его в одной точке – получится отрезок. Но тогда место разреза станет «дыркой», которой нет в исходной окружности. Если не разрезать – обруч останется замкнутым, и вы не сможете сопоставить все его точки с интервалом прямой без наложений или разрывов. Говоря совсем просто, окружность нельзя покрыть одной картой, потому что она «замыкается сама на себя», а прямая – нет.

Есть пространства, которые всё-таки покрываются одной картой – это вся плоскость. Декартовых координат достаточно в одном экземпляре. Есть структуры, которые многообразиями ну никак быть не могут (разве что какими-нибудь орбиобразиями). Простейший пример не многообразия – пересекающиеся прямые. Почему? Всё дело в том, что многообразие по определению – это пространство, которое локально выглядит как евклидово пространство (плоское).

А что происходит в точке пересечения двух прямых? Там есть особенность – точка пересечения – это так называемый «разрыв» в структуре. Вокруг этой точки кажется, что пространство «ломается» – оно не выглядит как евклидово в окрестности этой точки, потому что вместо одной гладкой поверхности у нас тут «разрыв» или «узел». Там локально пространство не похоже ни на плоское, а скорее на нечто вроде «разреза», что ломает условие локальной евклидовости.

Мы уже осознали проблему: каким бы ни было причудливым пространство, с которым можно столкнуться, изучая окружающий мир, нам придётся рассматривать его в малой окрестности и делать вид, что там оно почти плоское. Если совсем дела плохи, то – в бесконечно малой окрестности каждой точки. А значит, нам нужно вспомнить исчисление бесконечно малых, которое было переосмыслено и сейчас преобразилось в совершенно другую дисциплину – математический анализ. Да-да, те самые производные и интегралы. Возможно, и они на наш взгляд покажутся невероятно простыми и естественными.

Если кратко – то производная это мгновенная скорость изменения чего-либо. Именно её показывает спидометр автомобиля. Если величина меняется непрерывно, то для её исследования приходится довольствоваться именно мгновенным описанием. Ибо в следующее мгновение всё меняется, порой кардинально. К мгновенному описанию можно прийти через пределы, как это делают сегодня, или через отношения бесконечно малых величин, как это делали основатели данного исчисления. Бесконечно малое число – это следующее число после ноля. Вы его никогда не запишите численно, но оно ведь есть!