Что может быть проще?

Начиная с этого раздела всё станет немного жёстче. Но мы с вами справимся. На сей раз мы покинем унылые плоские пространства и погрузимся в весьма причудливые миры, которые единой координатной сеткой порой невозможно окинуть. И в них всё равно могут жить тензоры.

Но чтобы справиться с искривлёнными пространствами, нам нужно сперва покорить идею непрерывности, идя по следам Лейбница и Ньютона. Без этого, увы, никак.

В общем, нас ждёт новая философия познания, новые методы и, конечно же, тензоры, которые тоже изменят свой лик.

Когда мы говорим о пространстве, у большинства из нас в голове возникает прямоугольник в клеточку – это плоская поверхность, как лист бумаги. Но, мир намного более увлекательнее, чем этот унылый квадрат!. Настало время распрощаться с плоскими пространствами и окунуться в мир многообразий!

Представьте, что вы – древний мореплаватель, который только что узнал, что Земля круглая. «Как так? – воскликнете вы. – Ведь у горизонта она идеально плоская!» Вот она, главная хитрость мироздания: то, что кажется прямым и простым здесь, может оказаться изогнутым и закольцованным там. Мир – это многообразие, так в математике называют пространства, где локально всё подчиняется школьной геометрии, но глобально может быть искривлённым, замкнутым и даже неориентируемым.

Возьмите футбольный мяч. Для муравья, ползущего по нему, поверхность – почти плоскость. Но стоит ему сделать круг почёта, как он вернётся в исходную точку, хотя шёл всё время «прямо». Так и мы: тысячелетия считали Землю плоской, пока не наткнулись на её кривизну. Колумб, открыв Америку, думал, что достиг Индии – вот вам и первая встреча с многообразием! Но именно так рождалась идея: искривлённое пространство можно изучать через его плоские кусочки, как мореплаватели – через карты, которые никогда не показывают весь мир сразу.

Как проще всего описать мяч, тор или пространство-время? Ответ подсказывает география: нарисуйте карту. Карта – это окно, через которое кривизна мира распрямляется в координаты. Широта и долгота для Земли, углы вдоль цилиндра и экватора бублика – всё это попытки «приручить» многообразие.

Осознание проблемы – шаг к её решению.

Но одной картой в причудливых пространствах, как правило, не обойтись. Одна карта – почти всегда обман и искажение. Попробуйте изобразить весь глобус на бумаге: проекция Меркатора растянет полюса, Петерс искривит экватор, а капитан корабля на стыке карт запутается, как в Бермудском треугольнике. Поэтому нужен атлас – набор карт, которые, словно пазл, покрывают многообразие целиком.

Даже для задания карты температур на Земле

приходится иметь дело с многообразием.

Например, для окружности хватит двух карт, хотя можно взять и больше. Там, где они перекрываются, должна работать формула перехода. Без таких формул атлас рассыплется, а многообразие превратится в хаос разрозненных листов из пространств. Но всё-таки почему нельзя сделать единую карту, например, на сферической поверхности Земли без искажений? Ответ прост: сфера – не плоскость. Вы не сможете «разрезать» её на части, которые ровно лягут на стол, как кожура апельсина. Попробуйте очистить апельсин одним куском и распрямить кожуру: она порвётся или соберётся в складки. Точно так же любая попытка «расплющить» глобус в одну карту неминуемо приводит к проблемам. Например, к разрывам – как на карте мира, где Тихий океан разорван на две части. Искажениям – как у Меркатора, где Антарктида превращается в гигантскую белую кайму. Пропаже точек – например, стереографическая проекция «теряет» северный полюс, отправляя его в бесконечность.