Двойное скалярное произведение (свёртка) двух тензоров уменьшает их ранг и суммирует взаимодействия компонент. Это ключевая операция для описания энергетических процессов. К примеру, свёртка тензора напряжений и тензора деформации даёт плотность энергии деформации.

Тензоры можно разложить по тензорному базису

как векторы по векторному.

Все эти операции инвариантны относительно преобразований координат, что соответствует требованию ковариантности физических законов. Они позволяют компактно выражать сложные взаимодействия (например, анизотропные свойства материалов) и обеспечивают связь между математическим формализмом и наблюдаемыми величинами (силы, энергии, потоки). Без таких операций моделирование многомерных физических систем (деформируемых тел, полей в пространстве-времени) было бы невозможно.

Разложение тензора по базисным тензорам в физическом контексте соответствует выделению независимых компонент сложной величины, что позволяет анализировать её структуру, взаимодействия и симметрию. Эта операция аналогична разложению вектора на оси координат, но в многомерном и анизотропном случае.

В трёх измерениях и размерностях выше

все операции выглядят также.

Тензоры часто описывают сложные многокомпонентные взаимодействия. Разложение на базисные тензоры помогает разделить их на независимые части, каждая из которых соответствует определённому физическому эффекту. Вспомним пример из механики сплошных сред. В ней часто работают с уже знакомым нам тензором напряжений. Его можно разложить на шаровую часть (след тензора) и девиатор (безследовая часть). Шаровая часть соответствует гидростатическому давлению (объёмной деформации). Девиатор описывает сдвиговые деформации, вызывающие изменение формы. Это разделение критично для анализа пластичности материалов или разрушения.

Когда мы говорим о векторах, у нас уже возникает некоторое их разнообразие. Мы можем говорить как минимум об обычной стрелке, единичном векторе, обратном или противоположно направленном векторе, аксиальном векторе (псевдовекторе), оборачивающемся в зеркале в свою противоположность и часто являющемся продуктом векторного произведения. От тензоров, в силу их более сложной структуры, следует ожидать ещё большего разнообразия их типов и разновидностей.

Начнём знакомиться с тензорным зоопарком с самого простого примера.

Нолевой тензор – это просто тензор в любом базисе, имеющий нолевые компоненты. Его индивидуальные вектора нолевые. Он является нейтральным элементом в случае сложения тензоров. Его прибавление ничего не меняет.

Если в качестве индивидуальных векторов тензора выбрать векторы базиса, то мы получим единичный тензор. Графическое его изображение будет выглядеть как совокупность двух «двойных стрелок». Примечателен он тем, что скалярное умножение единичного тензора на вектор что слева, что справа даёт тот же вектор. А скалярное умножение единичного тензора на другой тензор совершенно не меняет этот самый другой тензор. То есть он ведёт себя как обычная единица, только в мире векторов и тензоров.

Раз у нас появился нейтральный элемент по умножению в виде единичного тензора, то вполне логично будет рассмотреть понятие обратного тензора. У каждого тензора должен быть тот, который отменяет его действие. Он в некотором смысле противоположен исходному. Компоненты обратного тензора легко можно найти из системы уравнений, которая получается при перемножении двух тензоров, заданного и искомого, и приравнивания их произведения к единичному тензору.

Единичный и обратный тензоры.