Значит, для описания тензора нам нужно три вектора. Но эти векторы должны быть упорядочены. Хорошо это или плохо? На первый взгляд это может смущать. Но если мы вспомним, что вектор можно представить тремя компонентами, которые суть просто упорядоченный же набор чисел, то сомнения отпадут. Три упорядоченных числа для вектора, три упорядоченных вектора для тензора. Что тут такого?

Глядя на эту иерархическую лестницу, возникает интересная мысль. А давайте упорядоченные числа называть тензором первого ранга, а упорядоченные векторы – тензорами второго ранга. Скаляры же тогда само собой просится назвать тензорами нолевого ранга. Ну и логично предположить, что упорядоченные наборы тензоров второго ранга можно называть тензорами уже следующего – третьего ранга.

Ещё один важный момент нужно учесть. Компоненты вектора могут меняться в зависимости от базиса, в котором он рассматривается. Компоненты тензора тоже. Значит, когда мы записываем тензор в виде массива чисел, нужно учитывать, в каком базисе мы рассматриваем этот объект.

Наконец-то! Мы изобразили тензор!

Всё это подводит нас к вполне естественному геометрическому изображению тензоров. Будем называть тензором упорядоченную тройку векторов в некотором базисе. При этом сам рассматриваемый базис тоже упоминать графически и алгебраически. Алгебраически это тоже можно записать в виде набора из упорядоченных базисных и обычных векторов.

Будем называть данные вектора индивидуальными для тензора. Какую они имеют природу? Такую же, как и любой иной объект, имеющий направление и рассмотренный нами ранее. Каждый из индивидуальных векторов тензора может иметь ковариантные и контравариантные проекции на базисные векторы. Будем такие компоненты называть соответственно ковариантными и контравариантными. Но в отличие от вектора, тензор имеет больше свободы, и его можно представить в виде компонент смешанного типа! Один раз ковариантными и один раз контравариантными. Индексов-то два. Значит, один может быть верхним, другой нижним. Могут оба индекса быть внизу или оба наверху. Что в данном случае будет означать, например, двойная ковариантность тензора? Тут всё просто! Если мы базисный вектор увеличим в размере в 2 раза, ковариантные компоненты умножатся на 4. Контравариантные компоненты при аналогичном преобразовании уменьшатся в 4 раза. Если же тензор представлен компонентами один раз ковариантными, один раз контравариантными, то множители в виде 2 и 1/2 скомпенсируют друг друга, и компоненты не изменятся.

Но чтобы более детально говорить о преобразовании компонент, нужно чуть развить наш геометрический формализм. Научиться складывать наши тензоры подобно векторам, умножать на число и разработать иные операции над ними.

Для простоты будем пока работать с тензорами второго ранга в двухмерном пространстве. Там у них будет всего два индивидуальных вектора, и будет очень наглядно видно, что меняется при применении той или иной операции.

Итак, вспомним, что мы умеем делать с векторами? Мы можем их складывать, умножать на число, скалярно умножать друг на друга, проецировать на базисные вектора. Вполне естественно переосмыслить те же самые операции применительно и к тензорам. Нужно только помнить, что тензор – это не число, это нечто ближе к матрице. И, соответственно, имеет значение, с какой стороны мы к нему подходим, особенно в вопросах умножения. Можно ввести скалярное умножение справа и слева, и они будут отличаться!

Также стоит вспомнить, что скалярное умножение по своей сути – это проекция, или, как её ещё называют, свёртка. Два вектора проецируются друг на друга, и проекция возрастает пропорционально партнёру. Это можно мыслить как взаимодействие вектора и дуального ему ковектора, компоненты которых суммируются (сворачиваются) по верхнему и нижнему индексу и дают число. Но у тензоров второго ранга индексов два! Соответственно, их можно сворачивать (скалярно умножать) с двумя векторами или сворачивать с таким же тензором. Что ж. Учтём и этот факт тоже.