Транспонированный и симметричный тензоры.

Тензор второго ранга является объектом с двумя индексами. Перестановка этих индексов местами имеет специальное название – транспонирование. Это всё равно что вы матрицу из компонент отражаете вокруг её главной диагонали.

Некоторые тензоры не меняются при транспонировании, и их называют, соответственно, симметричными.

Есть такой особый тип тензоров, у которого обратный тензор совпадает с транспонированным. Такие тензоры называют ортогональными. Их воздействие на вектора сводятся к простому повороту на определённый угол, закодированный структурой тензора. У таких тензоров индивидуальные векторы всегда ортогональны друг другу (откуда и название), по модулю равны единице и отстоят от базисных осей как раз на тот угол, на который поворачивают входящий вектор.

Особым типом тензоров является диада. Её можно сконструировать из компонент двух произвольных векторов. Она так и обозначается: как слитая пара букв исходных векторов. Меняя вектора диады местами, мы получим две разные диады. Индивидуальные векторы диады образует второй вектор, масштабированный на три компоненты первого вектора. Итого – три разных вектора, как и должно быть в трёх измерениях, или два для двух.

Ортогональный тензор оправдывает своё название.

Раз есть симметричные тензоры, то могут быть и антисимметричные. Это те, у которых смена местами индексов приводит к смене знака у компоненты. Давайте подумаем, как такое можно изобразить? Ясно, что все диагональные компоненты такого тензора будут равны нолю. Потому что только в этом случае отрицательная величина равна положительной. Таким образом, в трёхмерном пространстве независимых компонент у такого тензора будет всего три, а в двухмерном – две. Значит, этот тензор можно изобразить в виде набора всего трёх компонент – вектора. Или, если мы хотим оставаться в нашей парадигме тензора как набора индивидуальных векторов, можем попытаться понять их вид. Сделать это достаточно просто, если вспомнить про векторное произведение. Действительно! Если взять вектор, в который мы хотели упоковать три независимые компоненты, и векторно умножить его на базисные, то мы как раз получим три разных вектора. И они как раз образуют матрицу, обладающую нужными нам свойствами антисимметрии. Как до этого догадаться? Весьма просто – вспомнить, что векторное произведение само по себе антисимметрично и, следовательно, даст объекты со схожими свойствами.

Где встречаются рассмотренные типы тензоров на практике и что дают? В физике и геометрии различные типы тензоров второго ранга играют ключевые роли, отражая специфические свойства систем и упрощая анализ взаимодействий.

Нолевой тензор, все компоненты равны нолю, в физике моделирует отсутствие воздействия (например, нулевой тензор напряжений в покоящейся жидкости). В геометрии он описывает тривиальные преобразования, не меняющие пространство.

Диада и антисимметричный тензор.

Единичный тензор в физике, в частности в механике сплошных сред, характеризует изотропные материалы, где свойства одинаковы во всех направлениях. В геометрии сохраняет векторы неизменными при преобразованиях (тождественное преобразование).

Транспонированный тензор помогает понять, симметричен ли исходный тензор, а также используется в геометрии при анализе двойственности преобразований (например, в преобразованиях координат).

Симметричные тензоры говорят физикам о законах природы. Например, тензор напряжения нам уже поведал, что уважает третий закон Ньютона, так как является симметричным.

Обратные тензоры позволяют обратить переход от преобразованных векторов к исходным.