Складывать тензоры и умножать на число совсем просто.

С остальными операциями вопросов быть не должно. Вы наверняка уже сами догадались, как будет выглядеть, например, сложение. Есть, допустим, у нас два тензора T и B. У каждого из них есть свои индивидуальные вектора, имеющие притом свой порядок. Вполне логично под сложением понимать именно сумму векторов, стоящих на соответствующих по порядку местах! Новый тензор S, у которого индивидуальные векторы равны упорядоченной сумме индивидуальных векторов T и B, и будет результатом сложения.

Умножения тензора на число – тоже самоочевидно. Вполне логично удлинить все индивидуальные векторы на этот множитель.

Остальные операции рассмотрим подробнее.

Скалярное умножение тензора на вектор слева и справа.

Если мы тензор умножаем на вектор скалярно, то тензор пишем слева, а вектор справа. В результате получим вектор, который является суммой базисных, умноженных предварительно на скалярное произведение индивидуальных векторов с тем, на который умножается тензор.

Если же мы вектор умножаем на тензор скалярно, то пишем уже его справа, а тензор слева. В результате получаем тоже вектор, но он представляет собой сумму индивидуальных векторов, масштабированных скалярным произведением базисных векторов на умножаемый вектор.

Скалярное произведение двух тензоров второго ранга даёт тензор второго ранга. Но его индивидуальные вектора представляют собой комбинацию в виде суммы индивидуальных векторов второго множителя, умноженных предварительно на скалярное произведение индивидуальных векторов первого множителя с базисными векторами.

Компоненты тензора совпадают с соответствующими компонентами его индивидуальных векторов!

Двойное скалярное произведение тензоров даёт уже число, являющееся суммой скалярных произведений индивидуальных векторов обоих тензоров.

Скалярное произведение, таким образом, и тут играет роль проекции, по крайней мере части элементов тензора на внешний объект. Соответственно, если мы тензор умножим и слева, и справа на базисные вектора скалярно, то получим его компоненты в этом базисе. Компоненты тензора тогда совпадут с соответствующими компонентами его индивидуальных векторов, что и должно быть! Значит мы всё сделали как надо!

Тензор второго ранга можно разложить по своему специфическому тензорному базису. Всё как и с векторами! Если мы хотим получить базисные тензоры, нам нужно рассмотреть такие объекты, в которых индивидуальные вектора как раз совпадают с базисными векторами. Логично! Ведь именно по базисным векторам разлагаются индивидуальные векторы.

Таким образом, все введённые нами операции вполне естественны и физически оправданы. Например, скалярное умножение тензора на число отражает изменение интенсивности

физической величины без изменения её направления или природы. Например, тензор напряжений в материале, умноженный на скаляр, соответствует увеличению или уменьшению нагрузки в системе. Такое масштабирование сохраняет линейность физических законов (например, закон Гука) и позволяет адаптировать модели к разным условиям (смена единиц измерения, переход к безразмерным величинам).

Тензоры умножаются скалярно несколькими способами.

Умножения тензора на вектор слева и справа часто описывают преобразование векторов в физических системах. Например, как мы видели ранее, умножение тензора напряжений на вектор нормали к поверхности (стоящий справа) даёт вектор силы, действующей на эту поверхность, что используется в механике сплошных сред. В анизотропных диэлектриках умножение вектора электрического поля на тензор диэлектрической проницаемости (вектор слева) позволяет вычислить электрическое смещение. Эти операции физически интерпретируются как проекции тензора на определённые направления или преобразование входных векторов в выходные (например, деформация под нагрузкой).