Ортогональные тензоры в физике и геометрии описывают повороты и отражения (например, преобразования между инерциальными системами отсчёта). В квантовой механике унитарные операторы (аналог ортогональных) сохраняют вероятности.

Антисимметричный тензор в физике, например, кодирует электрические и магнитные поля (правда, в четырёх измерениях). В геометрии описывает бесследовые деформации (например, чистый сдвиг).

Диадные тензоры – это «кирпичики» для построения сложных тензоров. Их некоммутативность отражает зависимость физических эффектов от порядка взаимодействий (например, сила и плечо в моменте). С геометрической точки зрения они кодируют направленные взаимодействия. Например, в механике деформация материала может быть описана как комбинация растяжений и сдвигов, заданных парами векторов. Любой тензор второго ранга можно разложить в сумму диад.

Таким образом, мы видим, что каждый тип тензора кодирует определённый класс взаимодействий (силовые, вращательные, деформационные), что говорит нам о их вездесущем присутствии в нашей жизни.

Давайте сделаем ещё один шаг. Спросим себя, как понять, что перед нами тензор более высокого ранга и как его можно изобразить? Что такое, например, тензор третьего ранга, где с ним можно столкнуться? Наверняка вы в быту уже сталкивались с явлениями, описываемыми этими штуками, если держали в руках пьезовую зажигалку. Когда вы сжимаете некоторые виды кристаллов, их заряды разделяются, создавая электрическое поле. Мы в буквальном смысле выжимаем электричество из кристаллов. Это называется пьезоэлектрическим эффектом. И в значительной степени создаваемое электрическое поле пропорционально силе сжатия или приложенному механическому напряжению. Таким образом, мы получаем уравнение, в котором электрическое поле вроде как с первого взгляда пропорционально электрическому напряжению. И, конечно же, коэффициент пропорциональности называется пьезоэлектрической постоянной. Но присмотритесь внимательно к уравнению и задайтесь вопросом о природе стоящих в нём величин! В левой части у нас вектор, который является тензором первого ранга, а в правой механическое сжимающее напряжение, которое является тензором второго ранга. Так что перед нами уравнение, которое отображает тензор второго ранга на вектор. Так какой же должна быть пьезоэлектрическая постоянная? Подумайте об этом. Она должна брать матрицу и превращать её в вектор. Соответственно, её можно представить как трёхслойный массив чисел. Многомерную матрицу, что ли. То есть она является тензором третьего ранга.

Тензор третьего ранга тоже можно изобразить наглядно.

Таким образом, более высшие тензоры описывают связи, где результат зависит от нескольких направлений (например, пьезоэлектричество требует учёта механического напряжения в плоскости и генерации поля в третьем направлении). Они позволяют ещё точнее описать анизотропию в кристаллах и композитах, у которых свойства зависят от направления, что требует тензоров с большим числом компонент. Тензоры высоких рангов возникают в нелинейных теориях (например, в общей теории относительности). Тензоры ранга три и выше – это инструменты для описания сложных физических, механических и геометрических явлений, где простые векторы или матрицы недостаточны. Они позволяют компактно записывать законы природы, сохраняя информацию о многомерных взаимодействиях и анизотропии.

Подытожим. Опираясь на то, что мы знаем о тензоре напряжений, мы смогли обобщить этот формализм, начав работать с тензорами как с совокупностями векторов. А тензоры высшего ранга стали рассматривать как совокупность тензоров предыдущего ранга. В итоге мы получили шикарный способ описывать физические законы наглядно и просто!