Тензор возникает там, где одного вектора мало. Не хватает одного вектора – возьми больше! Что может быть проще?

В этом разделе мы, опираясь на уже имеющийся опыт работы с тензором, обобщим это понятие и сделаем применимым во всех подобных случаях. Мы научимся изображать тензоры так же наглядно, как вектора, и осмыслим операции над ними столь же естественно, как это делали раньше.

Вектора нам знакомы уже давно и весьма интуитивны. Как только вы видите что-то, что имеет направление, вы можете описать это вектором. Но как понять, что перед вами более сложный объект? С механическим напряжением нам пришлось повозиться. Возникает вопрос: «Есть ли более простые критерии, говорящие о том, что мы имеем дело с тензором? Чтобы так же, как и с векторами, было всё легко и сразу понятно».

Да. Понять, что перед вами тензор, очень легко! Нужно вспомнить, что он является оператором-превращателем. Он берёт один вектор и превращает его в другой, имеющий, возможно, иное направление.

Давайте обратимся к физике и посмотрим, какие в ней есть подобные величины. Если мы вспомним о векторе импульса и о том, что он равен скорости, умноженной на массу (и иногда на релятивистский коэффициент), то поймём, что масса – это просто число. Коэффициент пропорциональности, если угодно., потому как вектор импульса и скорости всегда сонаправлены.

Теперь представим себе спутник, летающий где-то в небесах. Его скорость и импульс так же всегда сонаправлены. Но у вращающегося тела помимо импульса есть ещё и момент импульса. Он равен моменту инерции, умноженному на угловую скорость вращения. Спутник мы можем вращать вокруг разных осей. А значит, момент инерции относительно этих осей будет разным. Поэтому даже если спутник вращается с одинаковой по модулю угловой скоростью в обоих направлениях, из-за разной величины момента инерции его угловой момент будет разным. В одном случае он будет больше, в другом меньше. А значит, если сложить их вместе, получится, что результирующий угловой момент не совпадает по направлению с вектором угловой скорости. Это значит, что момент инерции это не число, а такой же превращатель одних векторов в другие – тензор!

Момент инерции и проводимость – тензоры.

Признаки видны сразу!

Теперь вспомним закон Ома в векторной форме. Вместо тока I у нас там вектор плотности тока J. Вместо напряжения U у нас вектор напряжённости Е. В самых простых случаях эти два вектора пропорциональны друг другу, и коэффициент пропорциональности именуется проводимостью. Но если перед нами необычный кристалл, то пропорциональность этих векторов нарушается. Ведь в специальных анизотропных кристаллах проводимость может зависеть от направления! Тогда вектор тока и напряжённости уже не будут коллинеарны. В этом случае проводимость уже оказывается тензором.

Так что критерий оказался весьма прост. Видя некое линейное уравнение или закон, посмотрите на его правую и левую части и спросите себя, куда направлены вектора, находящиеся по обе стороны, и совпадают ли они в самом общем случае. Если всегда совпадают, значит, перед вами скалярная величина. Если есть ситуации, где коллинеарность нарушается, значит, перед вами тензор во всей красе и информативности. Тензоры в физике и математике возникают повсюду. Даже обычная деформация – и то тензор! Поэтому настало время сделать то, что так любят математики: абстрагироваться от объектов и описать их на абстрактном языке, алгебраическом и геометрическом наглядном.

Окинув мысленным взором всё, что мы уже поняли, давайте поразмыслим, как всё это можно обобщить. Матрицу (оператор) мы составляли из трёх векторов, и она уже позволяла нам изменять входящие векторы, превращая их в другие, имеющие даже другое направление.