В разных точках балки могут быть разные напряжения, что порождает целое поле тензора, зависящего от координат. Пронзая его векторами, мы получаем значения сил.

Тензор напряжений, несомненно, олицетворяет и чисто физические законы. Симметрия тензора (P_>ij=P_>ji) – прямое следствие третьего закона Ньютона (действие равно противодействию) и сохранения момента импульса. Если касательное напряжение на

верхней грани толкает кубик вправо, то напряжение на правой грани должно толкать его вверх с той же силой. Если бы не симметрия соответствующих компонент, возник бы «неуравновешенный» крутящий момент, и кубик начал бы вращаться сам по себе, что противоречит реальности.

Тензор напряжений P_>ij в трёхмерном случае имеет 9 компонент, но из-за симметрии независимых только 6. Диагональные компоненты P_>11, P_>22, P_>33 представляют из себя нормальные напряжения, действующие перпендикулярно граням кубика.

Если P_>11=P_>xx> 0 положительно, то это говорит о растяжении вдоль оси X. Если же эта компонента отрицательна, то происходит сжатие. Недиагональные компоненты P_>12, P_>23, …, представляют собой касательные (сдвиговые) напряжения, действующие вдоль граней. Например, P_>xy – напряжение вдоль оси Y на грани, перпендикулярной X.

Существуют так называемые главные напряжения – это максимальные нормальные

напряжения, действующие в направлениях, где касательные напряжения равны нулю. Инварианты тензора напряжений используются в критериях прочности материала, например, в критерии Мизеса. Критерий Мизеса – это «правило», которое определяет, когда материал переходит в состояние пластической деформации (например, начинает течь, как пластилин) под действием сложных напряжений. Он отвечает на

вопрос: «При каком сочетании напряжений материал сдастся?». В основе критерия лежит идея, что пластичность зависит не от конкретных направлений, а от интенсивности касательных напряжений в материале. Для этого и используется тензор напряжений, а точнее – его инварианты.

Инварианты тензора напряжений – это величины, которые остаются неизменными при повороте системы координат. Они отражают фундаментальные аспекты напряжённого состояния материала, не зависящие от того, под каким углом мы на него смотрим. Вот их механическая интерпретация.

Первый инвариант I_>1 – «шаровая часть». Он олицетворяет среднее нормальное напряжение, действующее на материал, и гидростатическое воздействие. Если I_>1> 0 – материал сжимается равномерно со всех сторон (как под водой), если I_>1 <0 – растягивается. Таким образом, I_>1 отвечает за изменение объёма материала, но не влияет на его пластическую деформацию.

Второй инвариант I_>2 – «интенсивность искажения». Его физический смысл прост. Он характеризует интенсивность изменения формы материала (девиаторную часть), вызванную разницей между нормальными и касательными напряжениями.

Третий инвариант I_>3 – «сложность напряжённого состояния». Он отражает степень асимметрии в распределении напряжений.

Если I_>3 = 0, напряжения симметричны (например, при чистом сдвиге). Если I_>3 не ноль, то есть комбинация разнотипных напряжений (растяжение + сдвиг + кручение).

Видите, как массу всего полезного может сказать нам тензор напряжений? Если его пронизывать единичными векторами в разных направлениях (умножая его на них), он выдаст напряжение в этом направлении. Его же инварианты расскажут о среднем состоянии материала, причём выдадут три разных полезных характеристики!

Подытожим. Мы столкнулись с ситуацией, в которой одного вектора было мало для описания всех перекосов и растяжений вместе взятых. Но так как трёхмерное пространство – штука тесная, для описания всевозможных напряжений в нём нам хватило введения всего трёх векторов. Эти вектора оказалось возможным упорядочить и объединить в единое целое, записав в виде матрицы. А дальше уже сама математика дала нам возможность извлечь из этой конструкции максимум возможной информации.