Инварианты матрицы: I1 – след,

I2 – вторая симметрическая сумма,

I3 – детерминант.

У вектора при смене базиса не меняется его «длина» или, как её называют в более абстрактном случае, норма. У матрицы тоже есть несколько типов инвариантов. Это её след – сумма диагональных элементов, определитель (детерминант) и сумма главных миноров второго порядка (или вторая симметрическая сумма). Инварианты – это «душа» матрицы. Они остаются неизменными, даже если вы смотрите на объект под разными углами. Как говорил математик Герман Вейль: «Инварианты – это то, что остаётся, когда всё остальное ушло».

Как эти математические действия помогут нам получать информацию из тензора напряжений? Ну, во-первых, сразу видно, что вместо одной длины вектора у нас есть три каких-то инварианта! Каждый из них наверняка расскажет нам о чём-то своём, специфическом именно ему качестве. Во-вторых, матрица оказалась неким преобразователем, который, беря направление (вектор), видоизменяет его. И по деяниям такого оператора можно смело делать выводы о внутренней структуре, закодированной матрицей, олицетворяющей наш тензор напряжений.

Разложение тензора напряжений на компоненты.

Так почему же трёх векторов тензора хватает для описания напряжений в любом направлении? Всё просто. Тензор напряжений – это не просто три вектора, а математический оператор, который кодирует правила преобразования напряжений при изменении ориентации площадки. Вот как это работает. Три вектора – это базис для всех возможных направлений. Каждый из трёх векторов тензора описывает напряжения на гранях кубика, ориентированных вдоль осей X, Y, Z. Эти направления выбраны не случайно – они образуют ортонормированный базис, то есть охватывают всё трёхмерное пространство. Любое произвольное направление можно представить как комбинацию этих трёх осей. Например, площадка с нормалью под углом 45° к осям X и Y «видит» проекции напряжений с граней X и Y. Тензор позволяет вычислить эти проекции через матричные операции.

Пронзаем тензор векторами и получаем силу в их направлении.

Тензор – это оператор преобразования. Чтобы найти силу напряжения на произвольной площадке с нормалью

n= (n_>x; n_>y; n_>z), нужно умножить тензор напряжений P_>ij на этот вектор:

F=Pn= напряжение вдоль направления вектора n.

Эта операция «смешивает» вклады от всех трёх базисных векторов тензора, учитывая ориентацию площадки.

Например, пусть нормаль к площадке направлена вдоль оси X:

n= (1; 0; 0). Тогда мы получим просто первый вектор тензора. Если же n повёрнут под углом, в формуле появятся комбинации всех компонент P_>ij. Таким образом, тензор позволяет «пересчитать» напряжения для любой ориентации, используя всего три базисных вектора.

Представьте, что три базисных вектора тензора – это основные цвета (RGB). Любой оттенок (направление) можно получить их смешением. Тензор – это инструкция, как комбинировать «цвета» -напряжения для получения «оттенка» -напряжения в произвольном направлении. Если бы у нас не было тензора, пришлось бы измерять напряжения для всех возможных углов, что физически невозможно. Тензор даёт компактную формулу вместо бесконечного числа экспериментов.

Почему в тензоре только три вектора, а не больше? Дело в том, что трёхмерное пространство описывается тремя независимыми направлениями (осями X, Y, Z).

Любой вектор или тензор в этом пространстве можно разложить по этим базисным направлениям. Добавление четвёртого вектора избыточно – он будет выражаться через существующие три. К примеру в механике если вы знаете силы, действующие на три взаимно перпендикулярные грани кубика, вы можете найти силу на любой наклонной грани через проекции. Дополнительные измерения не нужны.