В начале XX века Г. Кантор пришел к выводу, что интуитивная математика, которой он занимается, требует логического обоснования, требует формализации. Требуется основание математики, и Кантор занялся философией математики, проблематикой мышления в математике. Теория понятий считает, что в соответствии с диалектическим законом единства и борьбы (конкуренции) противоположностей, интуитивная математика распалась на две математики: аксиоматическую математику, основанную на формализации, которая абстрагируется от семантики естественного языка, и противоположную прикладную, основанную на использовании этой самой семантики. Занявшись философией математики, Кантор хотел как лучше, а получилось как всегда. В результате появилась не философия математики, а математическая философия (онтология, информатика) аналогично возникновению других математических наук: математической физики, математической логики и т.д., что лишний раз подтверждает, что математика является царицей всех наук. К слову, можно заметить, что саму философию в свое время предложил математик Пифагор. Теория понятий считает, что эта математическая философия представляет единение всех имеющихся наук.

Формализа́ция – представление какой-либо содержательной области (рассуждений, доказательств, процедур классификации, поиска информации, научных теорий) в виде формальной системы или исчисления.

Поскольку лингвистическая структура естественного языка не совпадает с логической структурой форм и законов мышления, которые воплощаются в этом языке, логика вынуждена создавать специальные средства, которые бы дали возможность изъять из естественного языка формы мышления, их логические свойства, существенные отношения между ними, определить принципы логической дедукции, критерии различия правильных и неправильных способов рассуждения.

Создание логики специального языка, наряду с существующей на естественном языке, есть особый процесс, который предусматривает, что созданная искусственная знаковая система является средством фиксации логической структуры мысли, с одной стороны, и средством исследования логических свойств и отношений мысли, с другой. То есть язык логики – это прежде всего её метод. Принято говорить не «искусственный язык логики», а «формализованный язык логики». С лёгкой руки немецкого философа Иммануила Канта логике приписали прилагательное «формальная», поэтому логику стали называть формальной, а её метод – формализацией.

Любая формализация по определению игнорирует некоторую часть доступной информации и, следовательно, обедняет содержательное представление об исследуемом объекте.

Форма́льная систе́ма (форма́льная тео́рия, аксиоматическая теория, аксиоматика, дедуктивная система) – результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.

Формальная система – это совокупность абстрактных объектов, не связанных с внешним миром, в которой представлены правила оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без учёта смыслового содержания, то есть семантики. Строго описанные формальные системы появились после того, как была поставлена задача Гильберта. Первые ФС появились после выхода книг Рассела и Уайтхеда «Формальные системы».

И в то же время. Философия математики предполагает также построение семантической теории «языка» математики для изучения смысла математических высказываний и сущностей абстрактных объектов. Теория понятий, напротив, основана на использовании семантики естественного языка, полагая, что естественный язык за время своего многовекового развития наилучшим образом представляет реальный мир. Теория понятий считает, что реальный мир определяет прикладную математику, которая его представляет. Семантическая математика более прагматична.