Покорное следование ковариантных компонент, и изворотливость контравариантных!

При этом обе контравариантные компоненты вытворяют пируэты. Даже та, что относится к неподвижной оси. Они делают всё, чтобы из видоизменённых контравариантных компонент можно было бы собрать тот самый исходный вектор.

И вот уже это наблюдение наталкивает нас ещё на одну мысль. Мы можем ковариантные компоненты описать в терминах скалярного произведения стрелки на базисные векторы! Это даст ещё одну алгебраическую интерпретацию и методику вычисления ковариантных компонент.

Итак, наши контравариантные компоненты – это просто коэффициенты, стоящие перед базисными векторами в разложении нашего вектора.

Алгебраически наглядное преобразование ковариантных компонент вектора.

Ковариантные компоненты – это скалярное произведение нашего вектора на базисные вектора. По сути, проекции, тени. Поэтому, когда базис меняется, эти проекции тоже меняются в сторону, следующую за изменением базиса. Только и всего.

Можем для примера вычислить их и увидеть, как масштабные множители, изменившие базис, выносятся, кое-где сокращаются и в итоге дают получить в точности тот результат, который нужен.

Итак, подытожим. Мы с вами увидели, что есть величины, имеющие направление и интенсивность (длину, плотность) как вещи в себе. Их можно мыслить как некие инвариантные объекты, которые, тем не менее, можно представлять разными типами компонент. Компоненты в зависимости от типа преобразуются по-разному. Для каких-то из этих величин ковариантное представление более естественно, для других – контравариантное. Но в силу взаимной однозначности таких представлений нас это волновать уже не должно. Мы научились оперировать с каждым типом компонент как с самостоятельным геометрическим объектом. Получили два вида представления направленных объектов в виде векторов и ковекторов. Что из этого использовать – зависит от задачи. Мы увидели ясно, почему происходит такое разделение. Когда вы движетесь к двери, она движется в противоположную сторону – к вам.

Контравариантность – это дверь, которая «бежит» к вам, когда вы идёте к ней. Ковариантность – это ваши шаги, которые гарантируют: чем больше вы их делаете (в направлении двери), тем ближе она становится. Что может быть проще?

Мир вокруг устроен порой весьма сложно. И для исчерпывающего описания явлений, с которыми сталкиваются человеки, одними стрелочками не обойтись. В этом разделе мы с вами естественным образом придём к такому объекту, как тензор. И уже опираясь на этот первый пример, сможем развить это понятие, увидев его элементы и в стрелочках, и в более сложных штуковинах.

Представьте, что вы – инженер XIX века, и ваша задача – рассчитать прочность моста. Вы знаете, что сила – это вектор: у неё есть направление и величина. «Отлично! – думаете вы. – Запишу все силы векторами и сложу их!» И тут приходит прозрение: чтобы описать, что происходит внутри материала, вектора недостаточно. Нужен объект, который хранит информацию не только о силе, но и о том, как она распределена по бесконечно малым площадкам, какие в них действуют напряжения. Так начинается история тензоров. Одним из первых примеров тензора ранга больше чем 1 (о рангах позже) был тензор напряжений. Собственно, само слово «тензор» происходит от латинского tensus, означающего «напряжённый».

Напряжение – это мера того, как частицы материала «общаются» друг с другом под нагрузкой. Представьте, что каждая частица – житель многоквартирного дома: Сосед сверху давит на неё (нормальное напряжение); сосед слева пытается выдернуть её с места с доворотом вокруг своей оси (касательное напряжение); и так с каждым из соседей что-то да происходит. Вектор может описать, например, суммарную силу, действующую на весь дом. Но чтобы понять, кто из его элементов кого конкретно толкает, нужна полная сводка по каждому элементу и уровню. Для этого инженеры придумали выделять бесконечно малый кубик материала и смотреть на силы, действующие на каждую из его шести граней.