Для большей общности возьмём косоугольную систему координат. Проведём в ней некоторую абстрактную стрелку a. В таких системах координат базисные векторы друг другу не перпендикулярны, а расположены под острым или тупым углом. Но координатную сетку получают, проводя линии параллельно осям координат, задаваемым базисными векторами. Таким образом, просто опустим из начала и конца вектора линии на наши оси параллельно базисным векторам. Координаты нашей стрелки, полученные этим способом, как раз совпадают с тем, что мы изначально считали координатами вектора. Такие координаты мы называли контравариантными. Вспомните наш пример с карандашом, направленным на дверь. Все его разложения, приводимые в том примере, были как раз контравариантными компонентами карандаша в косоугольных базисах.

Чтобы получить ковариантные компоненты, нам нужно получить проекции вектора на базисные направления. Ведь именно проекция будет обладать нужным нам свойством – меняться согласованно с изменением самих базисных направлений и масштабов. Для получения ковариантных компонент нам нужно опустить перпендикуляры к нашим осям координат из начала и конца стрелки. Это и будут наши ковариантные компоненты, по сути проекции стрелки на базисные направления. Сразу становится понятным, почему раньше вы не задумывались о дуальной природе компонент вектора. В картезианской (прямоугольной системе координат, названной в честь Картезия, по-нашему – Де'Карта) контравариантные и ковариантные компоненты будут всегда совпадать!

Визуализация контравариантных и ковариантных компонент стрелки и их изменения при увеличении одного базисного вектора и ковектора на горизонтальной оси. Вторая ось и базисные величины на ней остаются неизменными. Штрихом отмечены величины после изменения.

Определившись со способом визуализации ковариантных и контравариантных компонент стрелки, самое время задуматься об обозначениях и утвердить их. Базисные векторы обозначают с индексом внизу. А контравариантные компоненты векторов с индексами вверху. Базисные ковекторы обозначают индексами вверху, а ковариантные компоненты обозначают индексами внизу. Это правило математики ввели, чтобы было удобнее раскладывать объекты на компоненты и дабы индексы были на разных уровнях. Тот факт, что индексы у контравариантных компонент находятся вверху, а у базисных векторов внизу, как бы намекает нам, что они преобразуются противоположным образом. Всё это облегчает восприятие, приятнее суммировать и вероятность запутаться меньше. Сплошные плюсы!

Теперь давайте поиграемся с первой осью нашей системы координат и увеличим базисный вектор в два раза. Видно, что контравариантные компоненты при этом уменьшаются в эти же самые два раза. Контравариантная метка компоненты теперь отсчитывает вдвое меньше базисных масштабов из-за увеличения длины масштаба. Как и должно быть!

А вот ковариантная метка как была воткнута в ось перпендикулярно ей, так и не поменяла своего места. Но зато базисный ковектор увеличил свою плотность в два раза. А значит, численно он увеличивает цену этого же отрезка вдвое! Опять в точку!

Теперь мы можем посмотреть и на другой способ преобразования наших координат – поворот. Две оси поворачивать скучно. Для большей наглядности и информативности давайте чисто визуально в виде стоп-кадров заценим, как по-разному будут вести себя контравариантные и ковариантные компоненты стрелки, если поворачивать, допустим, на этот раз вторую ось.

Пусть изначально оси координат будут ортогональны друг к другу. Затем будем наклонять вертикальную ось вправо-вниз. В этом случае ковариантная компонента неподвижной оси вообще не меняется, а для поворачивающейся следует за изменением её направления, оставаясь всего лишь послушной тенью.