Отдельно нужно прокомментировать понятие бесконечно малого кубика. Лейбницу и Ньютону часто предъявляли за подобные высказывания. Действительно, что такое бесконечно малый объём? Почему бесконечно малую величину вы иногда считаете не нолём и обращаетесь с ней как с параметром, а иногда отбрасываете как настоящий ноль? В качестве оправдания такого подхода Лейбниц говорил: «Прибавьте к горе песчинку. Вы можете её учитывать, считая частью горы, а можете не учитывать и пренебречь её параметрами в сравнении с величием горы – это и есть бесконечно малая». Исчисление бесконечно малых обогатило человечество колоссальными инженерными достижениями ещё до того, как было переосмыслено и строго непротиворечиво обосновано в трудах Огюстена Коши, Карла Вейерштрасса и других математиков. Это теория пределов и всё то, что вам рассказывают на матанализе. В физике бесконечно малыми считаются реальные (не бесконечно малые!) величины, которые малы в сравнении с другими параметрами системы. Их игнорируют, если их вклад в результат незначителен. Хотя с точки зрения математики с ними работают как в классическом матанализе.

Итак. Представим себе некоторое тело и какой-то маленький элемент внутри него.

Напряжения возникают в теле при его нагружении (деформации, сжатии, скручивании) как реакция частиц на попытку внешних сил изменить их взаимное расположение. Эти внутренние силы сопротивления удерживают частицы от смещения.

В одной и той же точке материала напряжения могут различаться в зависимости от направления. Например, соседние частицы могут «давить» вдоль одной оси и «сдвигать» вдоль другой. В простых случаях, таких как растяжение или сжатие бруса, определить максимальные напряжения относительно легко. Однако при сложных нагрузках задача усложняется: требуется анализировать, как напряжения меняются при повороте условных площадок внутри материала.

Для этого изучают напряжённое состояние – совокупность всех напряжений, действующих на бесконечно малый элемент вокруг точки. Такой подход позволяет найти опасные зоны, где напряжения достигают критических значений, и предотвратить разрушение конструкции. Коротко: напряжения – это внутренний ответ материала на внешние силы, а их анализ требует учёта всех направлений и типов воздействия.

Попытки первооткрывателей справиться с описанием всех этих напряжений, тянущих и сдвигающих точку в разные стороны, были вполне естественны. Кстати, что бы вы сделали на их месте? Как учли бы в едином описании всевозможные силы упругости, действующие на элемент тела?

Наши первооткрыватели первично вводили систему координат XYZ и рассматривали координатные плоскости как основу для бесконечно малых площадочек. Силы, действующие на каждую из площадок, первооткрыватели обозначали максимально просто. Xx, Xy, Xz, Yx, Yy, Yz, Zx, Zy, Zz. Под этими символами подразумевали проекции напряжений, действующих на гранях элементарного кубика или на площадке, соответствующей конкретной оси координат. Вполне естественно выглядит! Согласитесь?

В последствии в XIX веке наступило прозрение, что эти девять чисел – есть единый объект! Его-то и назвали тензором напряжений.

Как видите, всё просто в математике, гениально и просто. Где невозможно обойтись одним вектором, ничто не мешает нам взять их несколько штук!

Сегодня обозначения отличаются от тогдашних. Тензор напряжений принято обозначать чаще всего греческой буквой «сигма» с двумя индексами или латинской буквой P. Первый индекс показывает, о какой грани или площадочке идёт речь, а второй – о каком компоненте вектора напряжения, относящегося к этой площадке.