Базисные ковекторы и разложение по ним.

Но раз ковекторы дуальны векторам, а векторы имеют компоненты в некотором базисе, то и для ковекторов можно ввести базис. В качестве такового можно взять любые линейно независимые ковекторы. То есть набор таких ковекторов, каждый из которых нельзя выразить как комбинацию остальных. Линейная независимость является расширением понятия неколлинеарности и некомпланарности на случай большего числа измерений, чем 2 и 3. Но если у нас есть ортонормированный базис векторов, каждый из которых имеет единичную длину и ортогонален остальным, то ему можно сопоставить дуальный, или, как ещё говорят, сопряжённый базис. Он будет уникален для каждого такого набора базисных векторов. Для его получения выбирают такие ковекторы, которые, съедая базисные векторы, выдают в качестве значения либо ноль, либо единицу. Выбрав такие объекты, мы сможем разложить любой ковектор как линейную комбинацию базисных.

Каждый раз, когда имеешь дело с дуальными объектами, невольно задумываешься, чем обусловлена сама эта дуальность. Вспоминаются поговорки про две стороны одной медали и прочие народные премудрости. Не единая ли сущность предстала перед тобой в разных обликах? Что ж, многие знания – многие печали. И на наших новых дуальных знакомых, векторах и ковекторах, нам придётся посмотреть с этой же стороны. А значит, нам придётся опять творить, изощряться и выкручиваться, переводя на корректный и удобный математический язык новые наблюдательные данные.

А поразмыслить действительно есть над чем. Сегодня мы знаем, что по второму закону Ньютона сила является произведением импульса по времени. А значит, по нашей с вами уже установленной классификации сила должна являться вектором. Контравариантным объектом, как и скорость. Если вы решаете задачу о движении тела под действием силы тяжести, то вы можете её найти как производную импульса. Эта операция оставляет контравариантный объект контравариантным. С другой стороны, эту же самую силу можно найти как градиент некоего скалярного поля – гравитационного потенциала. Таким образом, сила предстаёт перед нами классическим ковектором. Но как же так? Не можем же мы приравнять вектор ковектору? Это совершенно разные объекты, хоть и дуальные.

Сила – вектор или ковектор?

Но такова жизнь, и так устроен мир. Придётся принять сей факт и как-то разбираться и с этим. Вышеописанные наблюдения заставляют нас признать следующее: такой объект, как сила, может быть описан и как вектор, и как ковектор. А значит, это единый объект, проявляющий в определённых обстоятельствах одни свойства, а в других – иные. Нам лишь остаётся смириться с этим и, апеллируя к философии дуальности, придумать, как вектору сопоставить ковариантные компоненты, а ковектору – контравариантные.

Что бы вы предприняли, обнаружив данную проблему, если бы были математиками-первооткрывателями? Иногда полезно самостоятельно попробовать решить проблему и поиграть в первопроходца. Это очень сильно углубляет понимание, и полученные потом знания остаются с вами навсегда, становясь частью вас.

Итак, у нас есть объект, который имеет направление, но иногда при смене координатного базиса удлиняется, а иногда увеличивает плотность, сохраняя свою как бы длину. Как и то, и другое приписать нашему направленному куда-то нечту? В вопросе, как всегда, содержится часть ответа. Описанное свойство говорит о том, что такая штука, как сила, имеет и те, и другие компоненты. И ковариантные, и контравариантные компоненты. А компоненты – это что? Это всего лишь определённые проекции. Поэтому мы можем поступить так. Будем представлять силу в виде более привычной нам стрелки и попробуем спроецировать её на оси координат двумя разными способами, и посмотрим, как эти два типа проекций меняются при смене базиса.