В более общем случае тензоры преобразуются точно таким же образом. На каждый индекс по матрице соответствующего типа.

Особенность закона преобразования тензоров подчёркивает их инвариантность. Сам тензор как геометрический объект не меняется – меняются только его компоненты в разных системах координат. Все индексы преобразуются так, чтобы «компенсировать» друг друга. То, что мы видели геометрически, теперь мы выразили алгебраически.

Теперь нам для полного счастья нужно научиться переключаться между ковариантными и контравариантными компонентами с помощью какого-то отображения, которое это позволит сделать. Вполне логично предположить, что оно связано с базисными векторами и ковекторами. Значит, из них можно составить какой-то тензор и применить для наших нужд – поднятия и опускания индекса.

Базисные векторы заведуют измерением длины вектора и углами между векторами, а следовательно, от этих величин можно попробовать оттолкнуться в наших изысканиях.

Как найти длину вектора на тензорном языке? Геометрически мы это уже делали. В плоском пространстве с ортогональным базисом её можно найти по теореме Пифагора. А что делать, если базис не ортогональный и не единичный? Тогда мы можем выразить компоненты нового базиса через старые и наоборот и путём нехитрых и уже знакомых нам алгебраических преобразований решить вопрос. Если мы внимательно посмотрим на результаты таких действий, то увидим очень знакомую структуру. Преобразования эти напоминают свёртку базисных векторов с некоей матрицей. А матрицы у нас – это как правило что? Разумеется, перед нами тот самый искомый тензор, который организует нахождение длины векторов и углов между ними. Рассмотрев уже его компоненты в старом и новом базисе, мы увидим выполнение установленного закона тензорного преобразования. Такого типа тензоры называют ещё билинейными формами. Ибо они берут два вектора и приготавливают из них число – квадрат длины в данном конкретном случае.

У нас есть успехи: мы научились находить длину вектора через тензоры. Но цель у нас другая. Нам нужно научиться переходить от ковариантных компонент к контравариантным. Мы помним, что эти два типа компонент дуальны друг другу. Но то, что в одном базисе выглядит красиво, в ином может показаться странным. Так как увеличение векторов влечёт уменьшение дуальных к ним ковекторов. Это обстоятельство связано с координатами. Давайте попробуем обойтись без них совсем.

Метрический тензор берёт два вектора и возвращает их скалярное произведение или квадрат длины.

У нас есть для этого всё необходимое. Итак, у нас есть вектор. Чтобы получить его ковектор-партнёр, мы умножаем наш вектор на что-то, где это что-то – просто место для другого вектора. Вы спросите, действительно ли такая конструкция окажется ковектором? Да, это так! Прежде всего, это действительно функция из нашего дуального пространства, потому что она принимает вектор и выдаёт скаляр. Мы можем использовать скалярное произведение, чтобы показать, что эта функция линейна. Кроме того, это новое соответствие, которое мы придумали, вообще не зависит от базиса! Всё и без базиса выглядит достаточно круто. Когда мы умножаем наш основной вектор на 2, мы также на 2 умножаем и его ковектор-партнёр. Таким образом, векторы и ковекторы-партнёры, сопоставленные таким образом, всегда будут увеличиваться и уменьшаться на одну и ту же величину.

Опускание индекса – переход к дуальному объекту.

Если наш вектор, умноженный на что-то, действительно находится уже в дуальном пространстве, это значит, что мы можем построить его из базисных ковекторов. Верно? Какие же это будут коэффициенты в ковекторном базисе? Чтобы это выяснить, давайте вспомним, что результат скалярного произведения векторов получается при подстановке этих векторов в метрический тензор. Чтобы вычислить результат, мы просто раскрываем метрический тензор и оба вектора как линейные комбинации. Теперь остаётся только подставить наши векторы в ковекторы в любом порядке. Метрический тензор по своей природе симметричен. Но мы знаем, что у тензоров можно блокировать или оставлять свободным один из входов, один из индексов. Это свойство новой тензорной интерпретации нам как раз сейчас и пригодится!