Основной фишкой векторов и ковекторов являлась их инвариантность. В какой бы системе отсчёта вы их не рассматривали и под каким углом, они всё равно остаются некоей вещью в себе. Тензорное произведение объединяет объекты такой природы в нечто новое. Получившийся тензор наследует все эти качества самостийности от векторов и ковекторов, из которых он собран. А значит, все тензоры должны подчиняться единому универсальному закону преобразования. Давайте его найдём. Собственно говоря, именно им тензоры так знамениты.

Выражения одного базиса через другой. Прямое и обратное преобразования базиса как ковектора.

Для осмысления этого закона преобразования давайте вспомним о векторах и ковекторах. Это дуальные объекты, которые мы разлагаем по их базисам. Если базисный вектор увеличивается, то базисный ковектор уменьшается. При этом их взаимодействие уже в новом базисе по-прежнему даёт единицу. Это очень хорошо и наглядно видно на рисунке, чисто геометрически.

Как мы преобразуем базис и как находим компоненты векторов и ковекторов в новом? Раньше мы это делали чисто геометрически. Просто могли нарисовать новую систему координат и спроецировать на неё ковариантные и контравариантные компоненты наших объектов. Но алгебраически это проще делать через матрицы. Именно они могут как масштабировать (растягивать и сжимать), так и поворачивать наши векторы и ковекторы, как базисные, так и остальные.

Дуальный базис сохраняет своё свойство в новых масштабах.

Но мы помним про правило Эйнштейна о суммировании индексов, стоящих на разных уровнях. Помним о том, что это позволяет удобным образом записывать разложение вектора по базисным векторам, у которых индекс пишем внизу. Мы также помним, что векторы и ковекторы преобразуются противоположным образом. Все вместе эти находки позволяют нам описать правила преобразования базиса и обычных объектов в единой системе обозначений.

Векторы преобразуются как надо,

умножаясь на матрицы как столбцы справа.

Для ковекторов всё тоже отлично работает!

Преобразование смешанного тензора.

Допустим, нам нужно перейти к новому базису. Совокупность базисных векторов мы будем записывать в виде строки и умножать на матрицу как ковектор. Такую матрицу перехода к новому базису будем называть F в честь слова Forward (вперёд). Матрицу обратного перехода назовём B в честь Backward (обратно). Это правило возьмём за основу. Из него всё остальное будет следовать автоматически. Разложив вектор по базисным векторам и перейдя к новому базису, мы убедимся, что новые компоненты вектора получены через матрицу обратного преобразования B. В противоположность базисным векторам. Так и должно быть. Если же мы теперь вспомним, что базисным векторам дуальны базисные ковекторы, и найдём их коэффициенты преобразования, то увидим, что их преобразует к новому базису тоже обратное преобразование. А вот уже не базисные ковекторы преобразуются к новому базису по прямому преобразованию. В общем, всё идеально складывается. Красиво и непротиворечиво.

Закон преобразования тензоров.

Разобравшись с преобразованием векторов и ковекторов и их базисов, понять, что будет с произвольными тензорами, совсем просто. Для примера давайте рассмотрим смешанный тензор второго ранга. Он один раз ковариантен и один раз контравариантен. Это больше походит на самый общий случай, ибо у него имеются компоненты обоих видов.

Подействуем этим смешанным тензором на вектор и получим на выходе новый вектор. Теперь рассмотрим эту процедуру из нового базиса. Чтобы понять, какие результаты нам принесёт тензор в новом базисе, стоит рассмотреть его воздействие на базисные вектора. Простые алгебраические операции и переименование (больше для красоты) индексов, не нарушающее ничего, ясно показывает закон преобразования такого тензора. Как и ожидалось, он один раз преобразуется как ковектор и один раз как вектор. Эти преобразования осуществляются умножением на прямую и обратную матрицы в должном для этих объектов порядке.