Но этот тензор смешанного типа можно, наоборот, покормить вектором, получив на выходе ковариантный объект – ковектор.

А если взять и перемножить два ковектора и один вектор? Тогда этот объект сможет взаимодействовать с двумя векторами своими двумя ковекторными частями и выдавать вектор. При этом все эти операции будут линейны из-за свойств линейности тензорного произведения. У нас также есть свобода выбора – в какую именно ковекторную пасть поместить вектор. А это сочетание – линейность и возможность делать выбор при взаимодействии с объектом называется – полилинейностью.

Таким образом, тензоры любой природы ведут себя как отображения. Берут один объект, его поглощают, уважая его линейные права, и выдают объект другой природы, даже могут в ранге повысить!

Но давайте вспомним, как происходит само это питание. Ковектор, например, берёт компоненты вектора, умножает их на соответствующие свои и суммирует это всё. С тензорами второго ранга, аки матрицами, также всё сводится к специфическому суммированию перемноженных компонент в определённом порядке. И там и там возникают суммы, порой весьма громоздкие. Но возникают они обязательно.

Данное обстоятельство в 1916 году совсем допекло гениального Эйнштейна. И он вдруг подумал: «А что, если сделать так, чтобы знак суммы выкидывали на помойку, а вместо этого просто договориться, что по повторяющимся индексам мы всегда автоматически суммируем?» Так и родилось правило Эйнштейна: если индекс встречается один раз сверху и один раз снизу – по нему суммируем. И никаких сигм!

Новые тензоры и разные варианты отображений.

Иногда для краткости записи опускают и сам символ тензорного произведения, когда понятно из контекста, что он там есть. Особенно при матричном перемножении или когда ясно, что вектор на ковектор умножается тензорно и по всему этому новому базису разлагается новый тензор через свои компоненты. Без всех этих упрощений обозначения уравнения Общей Теории Относительности (ОТО) и Квантовой Теории Поля (КТП) занимали бы целую стену, а так помещаются даже на футболке.

Порождение новых линейных пространств.

Если у нас есть тензоры высоких рангов, то мы их можем заставить взаимодействовать друг с другом огромным количеством способов. Результат будет зависеть от того, по каким индексам мы их сворачиваем (суммируем) с другими монстрами тензорного мира. Главное для нас то, что объект, например, четвёртого ранга может вести себя как вектор, если остальные его три индекса «зацементировать» или заставить их свернуться с другими тензорными объектами. В дальнейшем мы увидим колоссальную пользу и наглядность таких тензоров.

Полилинейность.

Теперь давайте вспомним ещё один факт. Векторы и ковекторы образуют так называемое линейное векторное пространство. Так называют наборы объектов, которые можно складывать между собой, умножать на числа, ну и нужно, чтобы среди всего этого множества были такие элементы, как единица и ноль в местной интерпретации. Тензорное произведение тоже линейно, и значит сохраняет все свойства линейных векторных пространств. А значит, те объекты, которые получились в результате тензорного произведения, сами являются представителями неких новых линейных векторных пространств. Эти пространства также обозначают через символ тензорного произведения или его симметричных и антисимметричных аналогов.

Математики любят оперировать с абстракциями. И казалось бы, где на практике, а не в математических астралах найдётся место тензорному произведению каких-то пространств?

Однако в современном мире и такие конструкции весьма популярны. Например, архитектура квантовых многочастичных систем строится как тензорное произведение и называется пространством Фока. Пространство Фока – это математическая конструкция, которая позволяет описывать системы с переменным числом частиц (как в КТП). Оно строится как прямая сумма симметризованных (для бозонов) или антисимметризованных (для фермионов) тензорных произведений гильбертовых пространств отдельных частиц. Прямая сумма – это тоже просто. Например, трёхмерное пространство является прямой суммой одномерных пространств, задаваемых координатными осями. Тензорное произведение объединяет гильбертовы пространства частиц в единую систему, сохраняя их независимость до симметризации. Симметризация/антисимметризация «склеивает» частицы в соответствии с их природой (бозоны/фермионы). И без этого сейчас никак не обойтись в передовой физике!