Мы с вами убедились в необходимости введения тензоров, рассмотрели различные операции с ними, научились получать новые тензоры более высокого ранга с помощью процедуры, которую мы назвали тензорным произведением. Пришло время перейти на новый уровень! Мы перестанем говорить о новых типах тензоров и вместо этого изменим сам подход к уже известным нам тензорам.

Давайте немного порассуждаем. У нас есть векторы и ковекторы. Из этих направленных объектов мы можем порождать тензоры второго ранга, а из них уже тензоры ещё более высокой валентности (валентность – синоним ранга). Какие-то матрицы мы можем породить просто тензорным произведением векторов. Некоторые так не порождаются, но их всё равно можно разложить по базисным матрицам, олицетворяющим базисные тензоры. Поэтому перед нами конструктор, от которого у нас есть все детали! Имея все составляющие, мы можем строить что захотим. И вполне логично на данном этапе ввести альтернативное определение тензоров. Тензор – это совокупность векторов и ковекторов, объединённых с помощью тензорного произведения. И это определение очень хорошее, потому что оно поможет нам упростить жизнь! Многое из того, что мы узнали ранее, мы можем забыть. Потому что это будет автоматически вытекать из нового определения.

Давайте пока отвлечёмся и вспомним, что такое функция. Кто-то скажет, что это график, люди, далёкие от математики, скажут, что это уравнение. На самом деле проще мыслить функцию как некоторое правило, которое гласит, как, зная нечто одно, можно найти что-то другое. Это более адекватное определение понятия функции. Такое правило в математике называют отображением. Действительно, имея график, вы, зная значение одной переменной, легко найдёте значение функции. Имея таблицу чисел, которую используют часто для построения графика, вы тоже можете найти нужные значения как переменной, так и функции. Иногда такое правило можно записать в виде формулы. Функцию можно описать словесно, потому как не всегда понятно, что перед вами написано в уравнении. Например,

y= 3x+1 означает простейшее правило: возьми любое число x, умножь на 3, затем прибавь к результату единицу и получишь значение функции. А если перед вами запись

y = sin x, то человек, не знакомый с функцией синуса, не сможет понять, что от него тут требуется. Ему будет нужен мануал, который описывает следующий квест: построй любой прямоугольный треугольник, один из углов которого равен x, затем противолежащий катет этого треугольника раздели на его гипотенузу и только тогда получишь заветное значение y. А ещё в математике полно функций, которые обозначаются парой символов, а вычисляются так, будто тебе велят: «Продифференцируй несчастный многочлен, найди священный градиент в пятом измерении и принеси его в жертву контурному интегралу – и это ещё не финальный босс». Из всего известного науке зоопарка функций выделяют самые простые – линейные. Ими-то как раз и являются тензоры, если на них правильно посмотреть. Даже больше, они полилинейны!

Зачем писать лишние символы когда и так всё понятно?

Итак. Получается, что векторы и ковекторы – это фундаментальные элементы для всех остальных тензоров. Но что делают объекты обоих этих типов? Ковекторы и векторы взаимодействуют друг с другом, выдавая число.

Можно сказать, что ковектор «съедает» вектор, давая число, а можно трактовать это наоборот. Вектор ловит ковектор и выдаёт число. Объекты эти ведь дуальны!

Любой тензор можно разложить по базису и кормить его

векторами и не только.

А что, если же мы создадим, например, с помощью тензорного произведения ковектора и вектора новый объект? Чем он будет являться? Как говорилось ранее, это будет тензор второго ранга, один раз ковариантный (в честь ковектора) и один раз контравариантный (в честь вектора). Каков его рацион и продукты питания? Эта получившаяся штука будет есть векторы своей ковекторной частью. Но результатом будет объект с одним контравариантным верхним индексом – вектор!