3 (v1, w1) —2 (v2, w3) + (v5, w4).

Но тензорное произведение – не винегрет. Ему нужно, чтобы всё было билинейно, то есть линейно и по v, и по w. А в нашем винегрете пока царит анархия. Например, (v1+v2,w) и (v1, w) + (v2, w) – это два разных элемента, хотя по смыслу они должны быть равны. Вот тут-то и приходит на помощь факторизация – математический аналог строгой диеты.

Только для тех, кто в теме.

Как это работает? Берём наш «винегрет» из формальных выражений – свободное пространство. Делим его на части, склеивая элементы, которые должны быть равными по своей сути. Например, (v1+v2, w) отождествляем с (v1, w) + (v2, w), как бы говоря себе, что это одна и та же конструкция. Это порождает свойство линейности. Далее, a (v, w) склеиваем с выражением (av, w) и (v, aw). Говоря, что это суть одно и тоже, мы даём себе право вносить множитель. Всё, что осталось после этой «уборки», и есть тензорное произведение пространства V на пространство W. Его элементы теперь ведут себя прилично.

Факторизация – это некоторый аналог деления. Когда мы делим число шесть на три, мы как бы тоже делаем нечто похожее на факторизацию. Мы считаем, что шестёрка – это шесть элементов какой-то природы. Грибов, яблок… Деля на три, мы заставляем разделиться всех этих участников шестёрки на группы по три элемента. А потом объявляем, что элементы каждой тройки слились воедино в своей группе. Сколько таких групп получим? Конечно же, две!

В случае факторизации таких объектов, как пространства или наборы буквенных и численных выражений (свободное пространство), мы слепляем в одно целое то, что считаем подобным по нужному нам признаку. Вот и всё.

Зачем так усложнять-то всё? Вводить какие-то формальные свободные пространства, факторизовать? Такова жизнь и математика! После освоения чего-то на понятном уровне возникает потребность шагнуть выше в абстракции и уже там открывать более общие закономерности.

Тензорное произведение – это как конструктор, который склеивает векторы и тензоры в более сложные объекты высших рангов. Но иногда хочется, чтобы эти объекты обладали уже заведомо дополнительными свойствами: например, не менялись при перестановке индексов (симметрия) или, наоборот, меняли знак (антисимметрия). Для этого математики придумали два специальных «инструмента»: симметричное и антисимметричное тензорные произведения.

Симметричное тензорное произведение превращает два вектора и тензоры старше в симметричный тензор, который не меняется при перестановке аргументов. Обозначается оно кругом с точкой в центре, в точности как символ Солнца в астрономии. Каждый, кто искушён в линейной алгебре, знает, что для определения чего-либо нового достаточно задать его на базисных элементах. Все остальные надстройки подчиняются законам, действующим над базисом. Для симметричного перемножения базисных элементов рассмотрим тензорное произведение первого на второй, затем второго на первый, и сложим их, разделив сумму на два. Аналогичным образом можно строить более сложные симметричные комбинации, только не забывать делить на число всевозможных перестановок из n элементов, то есть на n! факториал.

Антисимметричное тензорное произведение создаёт антисимметричный тензор также гарантированно. Он меняет знак при перестановке индексов. Обозначается оно в виде клина, смотрящего вверх /\, и читается как «клин» или «внешнее произведение». В уравнениях выглядит футуристично, как настоящая математика инопланетян. Основанное на этом символе исчисление было введено Эли Картаном и невероятно упростило некоторые тензорные методы. Это произвело впоследствии настоящую революцию в математике и сейчас ассоциируется с целым отдельным направлением – алгеброй Грассмана.