Числом степеней свободы называется показатель, который рассчитывается как разность между объёмом выборочной совокупности n и числом оцениваемых параметров по данной выборке h. Для линейной модели парной регрессии число степеней свободы рассчитывается как (n-2), потому что по данным выборочной совокупности оцениваются только два параметра – β0 и β1.
Таким образом, критическое значение t-критерия Стьюдента определяется как tкрит(а;n-h).
При проверке основной гипотезы вида Н0:β1=0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:
где – оценка параметра модели регрессии β1;
ω(β1) – величина стандартной ошибки параметра модели регрессии β1.
Показатель стандартной ошибки параметра модели регрессии β1 для линейной модели парной регрессии рассчитывается по формуле:
Числитель стандартной ошибки может быть рассчитан через парный коэффициент детерминации следующим образом:
где G2(y) – общая дисперсия зависимой переменной;
r2yx – парный коэффициент детерминации между зависимой и независимой переменными.
При проверке основной гипотезы β0=0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:
где
– оценка параметра модели регрессии β0;
ω(β0) – величина стандартной ошибки параметра модели регрессии β0.
Показатель стандартной ошибки параметра β0 модели регрессии для линейной модели парной регрессии рассчитывается по формуле:
При проверке основных гипотез возможны следующие ситуации:
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. |tнабл|›tкрит, то с вероятностью (1-а) или γ основная гипотеза о незначимости параметров модели регрессии отвергается.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. |tнабл|≤tкрит, то с вероятностью а или (1-γ) основная гипотеза о незначимости параметров модели регрессии принимается.
23. Проверка гипотезы о значимости парного коэффициента корреляции
Предположим, что по данным выборочной совокупности была построена линейная модель парной регрессии. Задача состоит в проверке значимости парного коэффициента корреляции между результативной переменной у и факторной переменной х.
Основная гипотеза состоит в предположении о незначимости парного коэффициента корреляции, т. е.
Н0:rxy=0.
Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в предположении о значимости парного коэффициента корреляции, т. е.
Н1:rxy≠0.
Данные гипотезы проверяются с помощью t-критерия Стьюдента.
Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.
При проверке значимости парного коэффициента корреляции критическое значение t-критерия определяется как tкрит(a;n-h), где а – уровень значимости, (n-h) – число степеней свободы, которое определяется по таблице распределений t-критерия Стьюдента.
При проверке основной гипотезы вида Н0:rxy=0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:
где ryx – выборочный парный коэффициент корреляции между результативной переменной у и факторной переменной х, который рассчитывается по формуле:
ω(ryx) – величина стандартной ошибки парного выборочного коэффициента корреляции.
Показатель стандартной ошибки парного выборочного коэффициента корреляции для линейной модели парной регрессии рассчитывается по формуле: