Данные отношения, о которых мы говорим, между числами или количествами, которые сами по себе не даны, а искомы, отношения, которые подразумеваются в значении букв, обозначающих эти искомые количества, являются в исчислении тем же, чем являются обобщения или общие описания в обычном мышлении, наукой о котором является логика. Они соответствуют тому, что в логике называется «вторыми намерениями», а арифметические числа – ее «первым намерениям». Как если бы в обычном логическом мышлении нам дали отношения, выражаемые сложным общим термином «разумный бесперый двуногий» (для простоты используем старый пример), и потребовали найти индивидуальное существо, соответствующее описанию, а именно человека. Или, опять же, как если бы был дан термин «разумный бесперый четвероногий»; в этом случае требуемое индивидуальное существо, соответствующее описанию, если предположить, что его не удастся найти, будет аналогично либо нулю, либо избыточному или невозможному количеству в числах, количеству, называемому воображаемым, потому что оно не мыслимо, то есть не реализуемо в мысли, но продолжает быть выражением для процесса, неспособного быть доведенным до точного завершения.

Такие процессы от общих понятий к частным случаям плодотворны в чистой математической мысли, потому что ex hypothesi она имеет дело только с чистым количеством, дискретным или непрерывным, а не с какими бы то ни было общими понятиями, которые могут быть порождены воображением intellectus sibi permissus. Ее методы, ограниченные этим объектом-материей, позволяют отличить истинное от ложного, мыслимое от немыслимого. Чистая математика, как и все точные науки, необходимой основой которых она является, имеет дело с объектами (используя этот термин в самом широком смысле) лишь постольку, поскольку они либо поддаются измерению, либо могут быть проверены с точки зрения измеримости. Мы уже видели, что арифметика рассматривает числа как целостные и независимые объекты, имеющие различные значения по отношению друг к другу, как если бы они были множеством атомов, молекул или масс материи, принадлежащих к различным видам химических веществ. Хотя они являются продуктами мысли вне восприятия, но, как мы видели, мысль немедленно возвращает их в перцептивный порядок, представляя каждое число как логически единичное и индивидуальное существо. Более сложные или сложные законы их комбинаций должны быть открыты, как и в случае с реальной материей, путем дальнейших упражнений мысли, то есть концепции и рассуждения. И этим дальнейшим упражнением в случае арифметических чисел, которые являются Реальностями вычисления, является Алгебра, метод, который является обобщением арифметического метода, выводящим явно все то, что в арифметике подразумевается, но не развивается.

Ибо если алгебра обобщает числа или величины арифметики так, как мы только что видели, то она неизбежно приводит к обобщению, или, скорее, расширению применения своих процессов, аналогичным образом. Так, например, он делает, когда использует скобки или vincula для обозначения того, что сложная величина, которую он мог создать для себя из условий какой-либо задачи и значение которой он оставил численно неопределенным, должна рассматриваться как составная, хотя и единая величина; то есть величина, при алгебраическом решении которой, до решения уравнения, в котором она стоит, должен быть учтен каждый отдельный компонент. Например, в выражении (a + b)^{> 2} заключение a + b в скобки со знаком возведения во вторую (или квадратную) степень указывает на то, что каждый из его компонентов, взятый отдельно, должен быть умножен один раз на себя и один раз на другой компонент; таким образом, мы получаем эквивалентность,