Сначала об умножении. В операции умножения одного количества + на другое количество + мы делаем следующее: считаем множимое столько раз, сколько единиц имеет множитель. Если оба количества положительны, то результат операции может быть только положительным.

Если же множимое или множитель отрицательны, то при положительном значении другой величины операция с ее результатом будет отрицательной. Ибо предположим, что множитель отрицательный, скажем -6, а множитель положительный, скажем +3. Тогда знак множителя является знаком операции, то есть мы имеем положительный счет от – 6 три раза. Ничто не меняет знак числа 6. Следовательно, результат получается отрицательным, -18. Во-вторых, предположим, что множитель отрицательный, и нам нужно, скажем, умножить +6 на – 3. Операция здесь отрицательная, это операция счета. Но что значит посчитать 6 раз на – 3? Рассмотрим это следующим образом. Если бы мы посчитали 6 один раз, то есть умножили на 1, то в результате получилось бы 6. Если бы мы сказали, что не считаем 6, то есть умножили бы его на 0, результат был бы 0. Если бы мы считали его один раз реже, чем 0, мы должны были бы умножить его на – 1, и результат был бы -6. Аналогично умножить его на – 3 – значит предположить, что его считают в 3 раза реже, чем 0, то есть сделать t-18.

Таким образом, в обоих случаях умножения величин с непохожими знаками результат имеет отрицательный знак или -.

И наконец, предположим, что мы умножаем два отрицательных или – количества, знаки которых одинаковы, но отрицательны. Это означает, что мы должны либо считать, скажем, – 6 за – 3 раза, либо – 3 за – 6 раз. Мы только что видели, что значит считать по – раз. В данном случае нам остается только повторить те же рассуждения; и здесь не имеет значения, какой фактор берется в качестве множителя, а какой – в качестве множимого. Скажем, нам нужно умножить – 6 на – 3, или сосчитать – 6 за – 3 раза. Теперь не считать – 6 вообще, то есть умножить его на 0, значит довести его до 0, от того, что он на 6 меньше 0; мы просто, как бы, уничтожаем долг. Считать его за – 1 раз – значит довести его до +6; за – 2 раза – до +12; за – 3 раза – до +18. Следовательно, результат, полученный при умножении двух отрицательных или – количеств, имеет знак +, как и при умножении двух 4- количеств.

Что касается деления, то здесь действует то же правило. Результат будет положительным, если знаки делимого и делителя совпадают, и отрицательным, если они не совпадают. Делитель здесь является действующим элементом, как и множитель при умножении, с той лишь разницей, что если множитель выражает, сколько раз нужно сосчитать количество, то делитель выражает, на сколько равных частей нужно разделить количество, или, что то же самое, сколько раз нужно сосчитать одну из этих частей, чтобы привести ее к равенству с целым. Делимое на делитель дает делитель; и наоборот, делимое, умноженное на делитель, дает делитель.

Здесь, во-первых, очевидно, что процесс деления количества + на количество + никогда не может дать ничего, кроме количества +, независимо от того, что мы берем в качестве делителя.

Во-вторых, если предположить, что делимое – величина, а делитель – величина +, то делитель должен быть величиной -, чтобы при умножении на делитель он, в соответствии с правилом умножения, был равен делимому.

Аналогично, если предположить, что делимое – это + количество, а делитель – количество, то и в этом случае делитель должен быть – количеством, чтобы, согласно тому же правилу умножения, он был равен делимому, когда умножается на делитель.