Удвоение куба, говорит он, можно найти, если между двумя отрезками вставить два средних пропорциональных. Эту задачу он предложил своим ученикам, и некоторые из них написали о её решении.

Геометр доказал, что если три отрезка пропорциональны, то как первый относится к третьему, так квадрат, построенный на первом, относится к квадрату, построенному на втором. Однако он не дал метода, как найти два средних пропорциональных между двумя отрезками.

На плоскости он показал, что как первый отрезок относится к третьему, так квадрат первого относится к квадрату второго. Например, пусть есть три пропорциональных отрезка: 8, 4 и 2. Как 8 относится к 4 (оно вдвое больше), так и 4 относится к 2 (тоже вдвое больше). Следовательно, как первый относится к третьему (8 к 2 – вчетверо больше), так квадрат первого (64) относится к квадрату второго (16). Отношение 64 к 16 – четырёхкратное, как и 8 к 2.

В объёмных же фигурах он показал более общее: как первый отрезок относится к третьему, так квадрат первого относится к квадрату второго. Если между двумя отрезками вставить два средних пропорциональных, то отношение квадратов будет таким же.

Метод нахождения таков. Пусть даны два отрезка AB и BC, и AB вдвое больше BC. Продолжим BA и BC до точек F и G, построим прямоугольник BA, проведём диагональ AC, опишем полуокружность ADEC и через точку D проведём прямую FG так, чтобы FA была равна EG. Тогда отрезки CG и FA будут двумя средними пропорциональными между AB и BC.

Другой способ (более механический), как говорит Париск, ученик Аполлония Пергского:

Пусть даны два отрезка AB и BC, AB вдвое больше BC. Построим прямоугольник AC, проведём диагонали AC и BD, продолжим BD и BC до FG и через точку D проведём FG так, чтобы EF равнялась EG. Тогда CG и AF будут искомыми средними пропорциональными.

Как умножить объём на объём?

Пусть даны два отрезка A и B, A вдвое больше B. Найдём два средних пропорциональных C и D так, чтобы A:C = C:D = D:B. Тогда квадрат A будет вдвое больше квадрата C, так как A относится к B в тройном отношении, подобно тому, как подобные объёмные фигуры относятся в тройном отношении своих сторон.

(Далее следует геометрическое построение и доказательство.)

Пример. Пусть даны две прямые, и требуется найти две средние пропорциональные. Пусть данные две прямые – AB и BC, причем AB не кратна BC. Требуется найти две средние пропорциональные.

Продолжим BA и BC до точек F и G, построим прямоугольник BA, проведем диагональ AC и опишем полуокружность ADEC. Через точку D проведем прямую FG так, чтобы FA была равна EG.

Утверждаю, что две прямые CG и AF, равные AB и BC, являются средними пропорциональными.

Так как AC равна AB, то отношение AB к CG равно отношению CG к FA и FA к BC. Поскольку FA равна EG, а AC общая, то FE равна DG. Следовательно, произведение DG на GE равно произведению EF на FA.

Но произведение DG на GE равно произведению BG на GC (как доказано для полуокружностей), а произведение EF на FA равно произведению BF на FA.

Как доказано в 14-й теореме шестой книги «Начал», для равносторонних и равноугольных параллелограммов стороны, прилежащие к равным углам, обратно пропорциональны: как BF относится к BG, так CG относится к AF.

Но как BF относится к BG, так FA относится к AD и CA к CG. Следовательно, как CA относится к CG, так CG относится к AF и FA к BC.

Таким образом, для двух данных прямых AB и BC найдены две средние пропорциональные CG и FA.

Другой способ, более механический, как говорит Париск, следуя Аполлонию Пергскому:

Пусть даны две прямые AB и BC, причем AB вдвое больше BC. Требуется найти две средние пропорциональные.