Из современных исследований, хотелось бы остановиться на работе Г. П. Антоновой, выделившей на основании изучения процесса решения арифметических и иных задач младшими школьниками три уровня аналитико-синтетической деятельности, связанные с уровнем продуктивного мышления. Это также значимо для понимания процесса формирования культуры познания математики, а именно побудительного, технологического и управленческого компонентов.

Рассмотрим эти уровни аналитико-синтетической деятельности, выделенные Г. П. Антоновой.

Низкий уровень характеризуется элементным или односторонним анализом, установлением единичных связей между данными, не служащих решению проблем в целом. На этом уровне развития анализ и синтез в значительной степени оторваны друг от друга, что делает невозможным планирование процесса решения задачи.

Средний уровень проявляется в многостороннем, однако еще недостаточно полном анализе, в вычленении существенных данных и установлении нескольких комплексов связей. Анализ и синтез тесно связаны, однако умственное планирование затруднено, так как нет единой системы связей между данными с точки зрения проблемы.

Высокий уровень характеризуется всесторонним анализом, то есть вычислением комплекса данных и установлением между ними отношений с точки зрения проблемы. Для этого уровня развития синтез и анализ характеризует тесная связь между ними, предварение хода решения, планирование его.

Эти три уровня соотносятся по терминологии Н. А. Менчинской с элементным, комплексным и предвосхищающим уровням анализа. В основе этих уровней лежит характеристика:

– связи между анализом и синтезом;

– средств, с помощью которых осуществляются эти процессы;

– степени сложности анализа и синтеза.

Еще раз обратимся к исследованиям Ж. Пиаже. Рассматривая стадии развития в онтогенезе Ж. Пиаже выделял стадию конкретных операций (операции, недостаточно формализованные, связанные с конкретными данными) и стадию обобщенных, формализованных операций, связанную с их организацией в структурное целое. Ж. Пиаже отмечал обратимость операций мышления, понимая под этим своеобразную подвижность ума в прямом и обратном направлениях, внутреннее взаимоотношение операций между собой. Он указывал, что для каждой мыслительной операции существует такая, ей обратная, которая, исходя из полученного результата, к которому приводит первичная операция, может восстановить исходные данные. В частности, указывал Ж. Пиаже, формирование алгебраических понятий состоит в усвоении идеи обратимости операций. Ж. Пиаже связывает свое учение об операторных структурах мышления со взглядами Н. Бураки (коллективный псевдоним французских математиков) о трех фундаментальных структурах, на которых покоится здание математики, изложенными в статье «Архитектура математики». К этим структурам Бураки относят алгебраические структуры порядка и топологические структуры.

Важным для понимания процесса формирования культуры познания являются взгляды ученых А. Г. Ковалева, В. Н. Мясищева, В. А. Крутецкого, которые выделяют некоторые «опорные пункты» для определения особенностей психических процессов при математической деятельности, а именно:

– склонность к операциям с числами на элементарной ступени, в дальнейшем склонность к решению математических задач и на еще более высоком уровне склонность и интерес к математическим проблемам;

– быстроту усвоения счетных и арифметических правил;

– своеобразную особенность мышления, заключающуюся в том, что развитие абстрактного мышления, аналитико-синтетической деятельности, комбинационная способность особенно сильно выражаются в оперировании цифровой и знаковой символикой;