Если А и В – квадратные матрицы одного порядка с определителями |A| и |B|, то определитель матрицы С = АВ равен: |C | = |A| |B|.

Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется матрица А^>–1, которая удовлетворяет условиям АА^>–1= А^>–1А = Е. Матрица А называется вырожденной, если ее определитель |A| равен нулю.

Теорема. Матрица

где A_>ik – алгебраическое дополнение элемента a_>ik невырожденной матрицы А, является обратной для А.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

Если каждому значению n из натурального ряда чисел – 1, 2, n – ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число а, то множество занумерованных вещественных чисел – а_>1, а_>2, а_>n – называется числовой последовательностью (последовательностью), числа а_>n называются элементами или членами последовательности.

Числовая последовательность:

{a_>n},a_>n= f(n),

где n = 1, 2, 3… – номер члена последовательности.

Cпособы задания последовательностей:

1) аналитический (с помощью формулы n–члена);

2) рекуррентный (путем задания первого члена или нескольких членов и формулы для определения любого члена по известным членам);

3) словесный.

Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {x_>n} и {y_>n} называются соответственно следующие последовательности: {x_>n + y_>n}, {x_>n – y_>n}, {x_>n × y_>n}, {x_>n / y_>n}, в случае частного y_>n ≠ 0. Если в нуль обращается лишь конечное число членов последовательности знаменателя, то частное определяется с номера, отличного от нуля члена последовательности.

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n выполняется условие: a_>n+1 > a_>n (a_>n+1 < a_>n). Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется условие: a_>n+1 ≤ a_>n (a_>n+1 ≥ a_>n).

Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.

Последовательность {a_>n} называется сходящейся, если существует такое число А, что для любого положительного числа ε > 0 найдется такой номер N, что при всех n > N |a_>n – A| < ε. Если последовательность не сходится, то она называется расходящейся.

Число А называется пределом последовательности {a_>n}, если для ε > 0 существует такое натуральное число N, что при всех n > N |a_>n– A| < ε. Обозначение предела последовательности:

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Для подпоследовательностей справедливо:

1) если последовательность сходится к пределу А, то и ее подпоследовательность сходится к пределу А;

2) если все подпоследовательности некоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу и к нему же сходится исходная последовательность.

Теорема. Предел суммы (разности), произведения и частного равен сумме (разности), произведению и частному пределов, т. е., если

Последовательность {а_>n} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (m) такое, что для любого n a_>n≤ M (a_>n ≥ m). Число М (m) называется верхней (нижней) границей последовательности {a_>n}.

Последовательность {а_>n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Теорема. Последовательность {а_>n} ограничена тогда и только тогда, когда существует число r > 0 такое, что |a_>n| < r для всех n.

Теорема. Свойства ограниченности последовательности сверху, снизу и с двух сторон не нарушатся при отбрасывании (добавлении) конечного числа членов последовательности.