Теорема. Сумма двух ограниченных последовательностей есть ограниченная последовательность.

Последовательность {а_>n} называется бесконечно малой, если для любого положительного ε существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |a_>n| < ε.

Последовательность {а_>n} называется бесконечно большой, если для любого положительного Р существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |a_>n| < Р.

Предел бесконечно большой последовательности при n > ∞ равен ∞.

Бесконечно большая последовательность не ограничена и, следовательно, расходится.

Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей. Для того чтобы последовательность {а_>n} была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {b_>n} b_>n = 1 / а_>n была бесконечно малой.

Теорема. Если {а_>n} – бесконечно большая последовательность, а {b_>n} – сходящаяся последовательность, не являющаяся бесконечно малой, то их произведение есть бесконечно большая последовательность.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) предел бесконечно малой последовательности равен нулю:

2) стационарная последовательность с, с, …, с, … является бесконечно малой тогда, когда с = 0;

3) свойство последовательности быть бесконечно малой не нарушится, если отбросить (прибавить) конечное число членов;

4) пусть {b_>n} – бесконечно малая последовательность и для всех n справедливо а_>n ≤ b_>n, тогда последовательность {а_>n} тоже является бесконечно малой;

5) бесконечно малая последовательность ограниченна;

6) сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

7) пусть {а_>n} – бесконечно малая последовательность, {b_>n} – ограниченная последовательность, тогда их произведение есть бесконечно малая последовательность;

8) пусть {а_>n} – бесконечно малая последовательность, а с – любое действительное число, тогда последовательность {са_>n} тоже бесконечно мала;

9) произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Последовательность {а_>n} называется сходящейся, если существует такое вещественное число А, что последовательность {а_>n – А} является бесконечно малой. Число А будет пределом последовательности:

Сходящуюся последовательность можно представить в виде {a_>n} = {A + γ_>n}, где {γ_>n} – бесконечно малая последовательность.

Бесконечно малые последовательности являются сходящимися с пределом, равным нулю, бесконечно большие – расходящимися (сходящимися к бесконечности).

Точка бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности, если в любой ее ε–окрестности содержится бесконечно много элементов данной последовательности.

Лемма. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1) всякая сходящаяся последовательность имеет один предел;

2) сходящаяся последовательность {a_>n} ограниченна;

3) пусть последовательности {a_>n} и {b_>n} сходятся и

Теорема сравнения (предельный переход в неравенствах). Пусть заданы последовательности {a_>n}, {b_>n}. Тогда если последовательности {a_>n}, {b_>n} таковы, что a_>n ≤ (≥) b_>n, то

Теорема (принцип двустороннего ограничения).