Рис. 5

Всякая поверхность в пространстве определяется уравнением вида f(x, y, z) = 0.

Общее уравнение плоскости:Ах + Ву + Сz + D = 0. Если А, В, С, D не равны нулю, то уравнение называется полным.

При D = 0 уравнение Ах + Ву + Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.

Если А = 0, то уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох. Если два из коэффициентов А, В, С равны нулю одновременно, то уравнение определяет плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей: при А = 0 и В = 0 параллельно плоскости хОу, при А = 0 и С = 0 параллельно хОz, при В = 0 и С = 0 параллельно yOz. Уравнение Cz = 0 определяет плоскость xOy, By = 0 – плоскость xOz, Ax = 0 – плоскость yOz. Уравнение плоскости в «отрезках»: х / а + у / b + z / c = 1. Расстояние от точки М (х_>1, у_>1, z_>1) до плоскости:

Пусть имеются две плоскости А_>1х + В_>1у + С_>1z + D_>1 = 0 и А_>2х + В_>2у + С_>2z + D_>2 = 0. Угол φ между этими плоскостями:

Условие равенства двух плоскостей: А_>1/ А_>2 = В_>1/ В_>2 = С_>1 / С_>2 = D_>1 / D_>2. Условие параллельности плоскостей: А_>1 / А_>2 = В_>1 / В_>2 = С_>1 / С_>2. Условие перпендикулярности плоскостей: А_>1А_>2 + В_>1В_>2 + С_>1С_>2 = 0. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М (х_>1, у_>1, z_>1) параллельно плоскости, заданной уравнением Ах + Ву + Сz + D = 0: А(х – x_>1) + В(у – y_>1) + С(z – z_>1) + D = 0. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М_>1 (х_>1, у_>1, z_>1), М_>2 (х_>2, у_>2, z_>2), М_>3 (х_>3, у_>3, z_>3):

Уравнение плоскости, проходящей через две точки М_>1(х_>1, у_>1, z_>1) и М_>2(х_>2, у_>2, z_>2) перпендикулярно к плоскости, заданной уравнением A_>x + B_>y + C_>z + D = 0:

Уравнение плоскости, проходящей через точку М_>1 (х_>1, у_>1, z_>1) перпендикулярно двум непараллельным плоскостям А_>1х + В_>1у + С_>1z + D_>1 = 0 и А_>2х + В_>2у + С_>2z + D_>2 = 0, имеет вид:

Имеем три плоскости, заданные общими уравнениями:

Всякая прямая определяется в пространстве системой двух уравнений

Канонические (симметричные) уравнения прямой: (x – x_>0) / m = (y – y_>0) / p = (z – z_>0) / q, прямая проходит через точку M_>0 (x_>0, y_>0, z_>0). Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями:

Условие параллельности двух прямых: m_>1/ m_>2 = p_>1 / p_>2 = q_>1/ q_>2. Условие перпендикулярности двух прямых: m_>1m_>2 + p_>1p_>2 + q_>1q_>2 = 0.

Пусть имеются прямая (x – x_>0) / m = (y – y_>0) / p = (z – z_>0) / q и плоскость Ах + Ву + Сz + D = 0. Условие параллельности прямой и плоскости: Am + Bp + Cq = 0. Условие перпендикулярности прямой и плоскости: A / m = B / p = C / q. Условие принадлежности прямой плоскости:

Если прямая задана параметрически x = x_>0 + mt, y = y_>0 + pt, z = z_>0 + qt, то координаты точки пересечения этой прямой и плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 определяются по параметрическим уравнениям прямой при подстановке значений t, определенных (Am + Bp + Cq)t + Ax_>0 + By_>0 + Cz_>0 + D = 0. Уравнение прямой, проходящей через точки М_>1 (х_>1, у_>1, z_>1) и М_>2 (х_>2, у_>2, z_>2):(х – х_>1) / (х_>2 – х_>1) = (у – у_>1) / (у_>2 – у_>1) = (z – z_>1) / (z_>2 – z_>1). Уравнение плоскости, проходящей через точку М_>0(х_>0, у_>0, z_>0) перпендикулярно прямой (x – x_>1) / m = (y – y_>1) / p = (z – z_>1) / q, имеет вид: m(x – x_>0) + p(y – y_>0) + q(z – z_>0) = 0. Уравнение прямой, проходящей через точку М_>0(х_>0, у_>0, z_>0) перпендикулярно плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0, имеет вид: (х – х_>0) / А = (у – у_>0) / В = (z – z_>0) / C. Уравнение плоскости, проходящей через М