Рациональное числа представляются в виде дроби p/q. Можно сократить числитель и знаменатель до взаимно простых чисел, разделив их на НОД – наибольший общий делитель. Например, вместо 4/6 писать 2/3. Целую часть можно записать рядом с дробной как-то: 3/2 =1 ½.

Если читать умеет делить числа в столбик, то сможет дробное представление числа привести к десятичному виду, как например 2/3 = 0,6666666666…, рано или поздно в этом ряду появится повторение одной или последовательности цифр или одной и той же цифры. Это происходит потому, что остаток от деления чисел всегда делится на одно и то же делимое. Рано или поздно варианты разных остатков будут исчерпаны и начнётся циклическое повторением (математики вводят понятие сравнение чисел по модулю, принцип Дирихле, а можно просто поэкспериментировать самостоятельно и убедиться!)

Рис. 1.2. Числа.

Вместе с тем, наряду с рациональными существуют иррациональные числа, они не могут быть представлены в виде десятичной дроби с повторяющейся последовательностью чисел, как например, √2= 1.41…. является иррациональным числом. Допустим обратное, которое представимо в виде дроби, состоящей из не имеющих общих делителей числителя и знаменателя p и q. Рассмотрим внимательнее уравнение 2q^>2 = p^>2 Его левая часть делится на два, значит правая часть делится уже на четыре, поскольку p можно разложить на простые числа, как то: 2,3,5,7,11,13,17 …. делящиеся только на себя и на единицу. Набор сомножителей в правой части будет повторяться дважды для p^>2, отсюда свойство делимости на четыре. Но тогда в этом уравнении и q будет делиться на два. Смело сократив левую часть на общий делитель два в итоге получим что числа p и q, вопреки сделанному допущению, имеют в качестве общего делителя двойку и её степени. А это означает, что исходное предложение относительно числителя и знаменателя оказалось ошибочным: оба они четные, делятся на два, но мы исходно предполагали, что p, q не имеют общих делителей, которые заранее сократили. Значит √2 не представляется в виде дроби, аналогичные рассуждения применимы для корня из двух степени n.

Трансцендентное число не может быть корнем алгебраического выражения, например число π = 3.14158 или число Эйлера е = 2.718. Вместе с тем трансцендентные числа играют важную роль не только в геометрии, но при описании динамических процессов в физике, экономике, социологии.

Целые, рациональные, иррациональные и трансцендентные числа образуют вместе множество действительных чисел R можно сопоставить каждому числу точку на оси абсцисс Х и радиус вектор из начала координат до этой точки, при этом длина этого вектора будет равна модулю числа |х|. Для случая плоскости R^>2, мы будем иметь дело с парами чисел: (x, y) и радиус вектором из начала координат до точки на плоскости. Для трехмерного пространства R^>3 понадобится задавать координаты его точек уже тройками чисел (x, y, z) а для многомерного пространства R^>n координаты любой точки по осям описываются радиус-вектором (x_>1, x_>2,…x_>n).

Интересно заметить, что целые числа можно сосчитать, а именно: сопоставить каждому целому числу натуральное число – его модуль. Отрицательные числа можно считать парами вместе с положительными (это напоминает работу проводника на два вагона). Такое множество, хотя и бесконечно, является счётным. Несложные рассуждения позволяют сделать вывод, что является счётным множество рациональных числе p/q. Представим себе огромный (бесконечный) кинозал, где номер ряда – это числитель, а номер места – знаменатель. Так например в первом ряду расположены слева направо (или с Запада на Восток) зрительские места с дробями 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. Во втором – 2/1, 2/2, 2/3, 2/4 и т. д. Предположим, что все места размещены в зале с соблюдением социальной дистанции, так что контролёр может свободно перемещаться как по рядам, так насквозь любого ряда.