Определение операции сложения по модулю 2 в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $:

Операция сложения по модулю 2 $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ выполняется побитово для каждого бита входного вектора $\boldsymbol {x} $ и соответствующего ему бита вектора $\boldsymbol {p} $. Результат этой операции используется для изменения состояния каждого кубита в системе.

Входные данные $\boldsymbol {x} $ представлены в виде битовой последовательности, где каждый бит принимает значение 0 или 1. Вектор $\boldsymbol {p} $ также представляет собой битовую последовательность той же длины.

Операция сложения по модулю 2 выполняется следующим образом:

– Если соответствующие биты векторов $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {p} $ имеют одно и то же значение (ноль или единицу), то результатом сложения будет ноль.

– Если соответствующие биты имеют разные значения, то результатом будет единица.

Операция сложения по модулю 2 $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ «складывает» каждый бит входного вектора $\boldsymbol {x} $ с соответствующим битом вектора $\boldsymbol {p} $ и возвращает результат в виде нового вектора. Результат этой операции используется для изменения состояния каждого кубита в системе перед повторным применением оператора Адамара.

Операция сложения по модулю 2 ($\bmod 2$) для битовой последовательности является операцией, где биты двух последовательностей складываются побитово и результат возвращается в виде новой последовательности.

Для каждого бита входной битовой последовательности, выполняется сложение с соответствующим битом другой битовой последовательности. Результатом сложения будет бит, который будет равен 0, если сумма битов равна четному числу, и 1, если сумма битов равна нечетному числу.

Например, для двух битовых последовательностей $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {p} $ длины $n$, операция сложения по модулю 2 выполняется следующим образом:

$ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2 = (x_1 + p_1) \bmod 2, (x_2 + p_2) \bmod 2, …, (x_n + p_n) \bmod 2$.

Каждый бит результирующей последовательности $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ будет равен 0 или 1 в зависимости от суммы соответствующих битов входных последовательностей $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {p} $.

Применение оператора Адамара ($H^ {n} $)

Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется ко всем кубитам в системе и выполняет следующие действия:

1. Каждый кубит приводится в состояние суперпозиции, где вероятности нахождения в состоянии $|0\rangle$ и $|1\rangle$ равны.

2. Для получения произведения оператор Адамара применяется к каждому кубиту в системе.

Оператор Адамара $H^ {n} $ может быть записан следующим образом:

$$H^ {n} = \frac {1} {\sqrt {2^ {n}}} \sum_ {\boldsymbol {y}} (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} |\boldsymbol {y} \rangle,$$

где:

– $\boldsymbol {y} $ – битовые строки длины $n$,

– $\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y} $ – скалярное произведение битовых строк $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {y} $,

– $|\boldsymbol {y} \rangle$ – состояние кубитов, соответствующее битовой строке $\boldsymbol {y} $.

Применение оператора Адамара $H^ {n} $ в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ приводит каждый кубит в суперпозицию состояний $|0\rangle$ и $|1\rangle$, равновероятных состояний. Это означает, что каждый кубит имеет вероятности $1/2$ быть измеренным в состоянии $|0\rangle$ и $|1\rangle$.