1.1. Будем считать, что любому объекту из некоторой совокупности объектов может быть поставлен в такое соответствие некоторый набор признаков, что данный объект либо обладает каждым из признаков, либо не обладает им. Это означает, что признаки, выбираемые для описания объекта, характеризуются следующими свойствами: 1) они элементарны, т. е. принимают лишь два значения: + или –; 2) они равно необходимы, т. е. избыточность (предсказуемость значения признака) на данном этапе описания не фиксируется. Как станет ясно в дальнейшем, меризматическая избыточность44 не исчезает бесследно: она элиминируется из матриц идентификации, но отражается в определенных конфигурациях графов, представляющих эти матрицы. Будем считать также, что набор определенных выше признаков образует систему, если в нем некоторым образом задан порядок (последний понимается в общеалгебраическом смысле).

На основании сказанного предлагается следующее дефиниционное утверждение: совокупность объектов образует систему, если набор признаков, постулируемых для описания этих объектов, образует систему. Это означает, что проблема системности переносится с уровня объектов на уровень признаков. Целесообразность такого перенесения очевидна по крайней мере в прагматическом плане: уровень признаков в любом случае количественно более обозрим, чем уровень объектов; при п признаках теоретический максимум объектов, которые могут по ним различаться, равен 2^>n. Для определения системности множества эвристически выбранных признаков предлагается следующая процедура.

1.2. Рассмотрим набор из трех признаков Φ_>3 = (1°, 2°, 3°), об упорядоченности которых ничего не известно. Теоретический максимум объектов (классов), порождаемых в данной системе, описывается следующей матрицей:

Предположение 1. Пусть указанные признаки образуют систему, т. е. в Φ_>3 некоторым образом задан порядок.

Предположим далее, что из оптимального числа классов, различимых по трем данным признакам, отмеченными являются 1, 2, 3, 5, 7, 8, образующие матрицу отмеченности A′:

Очевидно, что данной матрице может соответствовать некоторое количество графов, равное, при п признаках, n!. Отличие каждого графа Γ_>i от графа Γ_>j обусловлено порядком выбора признаков, образующих ранги (горизонтальные сечения) графов. Граф имеет вид «дерева» и представляет собой определенную классификацию, результаты которой отражены в нумерации терминальных вершин графа. Каждый из таких графов может рассматриваться как алгоритм синтеза матрицы A′, а каждый ранг в графе отражает один из двух способов задания соответствующего признака φ_>j в системе Φ_>п: либо вилочный (допускающий выбор значения признака φ_>j независимо от значений предшествующих рангов), либо ленточный (предполагающий автоматический вывод значения данного признака φ_>j из значения некоторого признака φ_>i). Для иллюстрации приведем граф, соответствующий кортежу признаков 〈2°, 1°, 3°〉 (рис. 1) (здесь В_>1 и В_>2 – ветви графа). Легко видеть, что признаки 2° и 1° характеризуются только вилочным заданием, а 3° – как вилочным, так и ленточным.

Рис. 1

1.3. Назовем всякую систему признаков Ф_>n, представимую матрицей вида ||A′||, связанной, если хотя бы один признак в Ф_>n задается ленточным способом. Всякая система характеризуется, таким образом, определенным количеством степеней свободы с, соответствующим числу выборов (вилок) в графе порождения.

Введем меру связанности κ (φ_>i) признака (ранга) φ_>j в графе:

Здесь c(φ_>i) означает количество выборов по признаку φ_>i (или число вилок на i-м ранге дерева), cm(φ_>i) – теоретически возможных выборов на том же ранге.