Целая часть: 3t^>2 – 7t +5

Остаток: 34t – 37

Среди частных случаев деления многочлена на многочлен выделим делимость двучлена x^>m±a^>m на x±a.

1. Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих чисел, т.е. x^>m-a^>m делится на x-a

Примеры.

(x^>2-a^>2): (x-a) =x+a

(x^>3-a^>3): (x-a) =x^>2+ax+a^>2

(x^>4-a^>4): (x-a) =x^>3-ax^>2+a^>2x+a^>3

(x^>5-a^>5): (x-a) =x^>4-ax^>3+a^>2x^>2+a^>3x+a^>4

2. Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится не только на разность этих чисел, но и на их сумму т.е. x^>m-a^>m при чётном m делится на x+a

Примеры.

(x^>2-a^>2): (x+a) =x-a

(x^>4-a^>4): (x+a) =x^>3-ax^>2+a^>2x-a^>3

(x^>6-a^>6): (x+a) =x^>5-ax^>4+a^>2x^>3-a^>3x^>2+a^>4x-a^>5

2a. Разность одинаковых нечётных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел.

Например, ни x^>3-a^>3, ни x^>5-a^>5 не делятся на x+a.

2б. Так как разность чётных степеней делится на x-a и на x+a, то она делится и на x^>2-a^>2.

Примеры.

(x^>4-a^>4): (x^>2-a^>2) =x^>2+a^>2

(x^>6-a^>6): (x^>2-a^>2) =x^>4+a^>2x^>2+a^>4

(x^>8-a^>8): (x^>2-a^>2) =x^>6+a^>2x^>4+a^>4x^>2+a^>6

3. Сумма одинаковых степеней двух чисел никогда не делится на разность этих чисел.

Например, ни x^>2+a^>2, ни x^>3+a^>3 не делятся на x-a.

4. Сумма одинаковых нечётных степеней двух чисел делится на сумму этих чисел.

Примеры.

(x^>3+a^>3): (x+a) =x^>2-ax+a^>2

(x^>5+a^>5): (x+a) =x^>4-ax^>3+a^>2x^>2-a^>3x+a^>4

4а. Сумма одинаковых чётных степеней двух чисел не делятся ни на разность, ни на сумму этих чисел.

Например, x^>6+a^>6 не делится ни на x-a, ни на x+a.

Запомнить эти формулы необязательно, но уметь их применять необходимо.

Для удобства и упорядочивания вышеизложенных сведений можно составить такую таблицу.

Возведение в степень n двучлена a+b.

(a+b)^{> n}=a^>n+k_>1×a^>n-1×b+k_>2×a^>n-2×b^>2+…+b^>n (эта формула называется биномом Ньютона).

Где коэффициенты k (биноминальные коэффициенты) определяются из треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля – таблица бесконечная. Вершина таблицы и боковые стороны каждой строки имеют единицы. Остальные числа (в середине) равны сумме 2-ух чисел, которые находятся в предыдущей строке (над ними).Вы можете легко это проверить, а также потренироваться в составлении коэффициентов для степени 8. Теперь, зная секрет этой таблицы, вы можете без труда вычислить необходимые коэффициенты. Запомните только, что таблица начинается с нулевой степени.

Примеры.

(a+b)^{> 4}=a^>4+4a^>3b+6a^>2b^>2+4ab^>3+b^>4

(a+b)^{> 6}=a^>6+6a^>5b+15a^>4b^>2+20a^>3b^>3+15a^>2b^>4+6ab^>5+b^>6

Разложение многочлена на множители.

1 способ. Вынесение общего множителя за скобки.

Если все члены многочлена содержат в качестве множителя одно и то же выражение, его можно «вынести за скобки».

С этим способом мы косвенно ознакомились раньше. Приведём только пару примеров.

Примеры.

4x^>2y^>3+8xy^>2z=4xy^>2 (xy+2z)

9a^>2b^>2—3ab^>2c+12abc^>2=3ab (3ab-bc+4c^>2)

2 способ. Способ группировки.

Многочлен разбивается на несколько групп, в каждой из групп выносится за скобки общий множитель, после чего в скобках оказывается одинаковое выражение, которое в свою очередь выносится за скобки.

Примеры.

5x^>3+10x^>2+3x+6=5x^>2 (x+2) +3 (x+2) = (x+2) (5x^>2+3)

20x^>3—12y^>3+8xy^>2—30x^>2y=20x^>3—30x^>2y+8xy^>2—12y^>3=10x^>2 (2x-3y) +

4y^>2 (2x-3y) = (2x-3y) (10x^>2+4y^>2)

При этом способе важно иметь в виду, что выражение a-b можно всегда представить в виде – (b-a). Поэтому, если множители отличаются только знаками, их всегда можно сделать одинаковыми.

Например:

6ab-2cb+9cd-27ad=2b (3a-c) +9d (c-3a) =2b (3a-c) -9d (3a-c) =

(3a-c) (2b-9d)

3 способ. С помощью формул сокращённого умножения.

Примеры.

9x^>2—1= (3x-1) (3x+1)

4x^>2+4x+1= (2x+1)^> 2

4 способ. Разложение квадратного трёхчлена ax^>2+bx+c=

=a (x-x_>1) (x-x_>2)

где x_>1 и x_>2-корни квадратного уравнения ax^>2+bx+c=0

О решении квадратных уравнений мы поговорим позже.

А сейчас просто проиллюстрируем данный способ