(x>3+2x>2y>2—7x>2+y) + (3x>2– x>2y>2 +5x>2 – 3y) = x>3 +3x>3 +2x>2y>2 – x>2y>2 – 7x>2 +5x>2+ y – 3y = 4x>3 + x>2y>2 – 2x>2 – 2y.
Здесь одновременно с раскрытием скобок мы сгруппировали подобные члены (для удобства вычислений).
Аналогично, производится и вычитание многочленов. Не забывайте, если перед скобкой стоит знак «минус», то все члены, заключаемые в скобки, меняют свой знак на противоположный.
Пример. (4x>2y – 7x>3 +5y – 3) – (-2x>2y +5x>3– 3y +2) =4x>2y – 7x>3 +5y -3 +2x>2y -5x>3 +3y – 2 = 6x>2y – 12x>3 +8y – 5.
Произведение многочленов.
Произведение одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Схема: a× (b+c) =a×b+a×c (открытие скобок)
Например:
– 4x>3 (2y>3– x +6) = -4x>32y>3 + (-4x>3 (-x)) + (-4x>3 ×6) = -8x>3y>3 +4x>4 – 24x>3.
Мы выписали здесь промежуточные вычисления, хотя, в принципе, без этой записи можно обойтись.
Умножение многочлена на многочлен.
Произведение многочлена на многочлен равно сумме всех возможных произведений каждого одночлена одного из многочленов на каждый одночлен другого.
Схема: (a+b) × (c+d) =a×c+a×d+b×c+b×d
Пример. (3x>2 – 6x +2) × (4x>3 – 3x) = 12x>5 – 9x>3 – 24x>4 +18x>2 +8x>3 – 6x =
= 12x>5 – 24x>4 – x>3 +18x>2 – 6x.
Существуют частные случаи умножения многочленов, которые называются формулами сокращённого умножения многочленов. Их желательно запомнить.
1. (a+b)> 2 =a>2+2ab+b>2 (квадрат суммы)
2. (a-b)> 2=a>2—2ab+b>2 (квадрат разности)
3. (a-b) (a+b) =a>2-b>2 (разность квадратов)
4. (a+b)> 3=a>3+3a>2b+3ab>2+b>3 (куб суммы)
5. (a-b)> 3=a>3—3a>2b+3ab>2-b>3 (куб разности)
6. (a+b) (a>2-ab+b>2) =a>3+b>3 (сумма кубов)
7. (a-b) (a>2+ab+b>2) =a>3-b>3 (разность кубов)
Примеры: (2ma>2 +0.1nb>2)> 2 = 4m>2a>4 +0.4mna>2b>2 +0.01n>2b>4
(5x>3 – 2y>3)> 2 = 25x>6 – 20x>3y>3 +4y>6
(0.2a>2b + c>3) (0.2a>2b – c>3) = 0.04a>4b>2 – c>6
(5ab>2 +2a>3)> 3 = 125a>3b>6 +150a>5b>4 +60a>7b>2 +8a>9
Предлагаю вам самим узнать, какие формулы были использованы в этих примерах.
Деление многочленов.
1. Деление многочлена на одночлен.
Частное от деления многочлена на одночлен равно сумме частных, полученных от деления каждого слагаемого многочлена на одночлен.
Схема:
2. Деление многочлена на многочлен в общем случае можно выполнить с остатком, подобно тому, как это делается при делении целых чисел.
Разделить многочлен P на многочлен Q значит найти многочлен M (частное) и N (остаток) удовлетворяющий двум требованиям: 1) должно соблюдаться равенство MQ+N=P и 2) степень многочлена N должна быть ниже степени многочлена Q.
Процесс нахождения частного M и остатка N аналогичен процессу деления с остатком многозначного числа на многозначное. Перед делением члены делимого и делителя располагается в порядке убывания степеней главной буквы.
Например, разделим 6x>3 +2x>2 – x +12 на 3x>2 – 2x +6
Запись деления:
1.Делим первый член делимого 6x>3на первый член делителя 3x>2. Результат 2x – первый член частного.
2.Умножаем полученный член на делитель 3x>2 – 2x +6, результат 6x>3 – 4x>2 +12x записываем под делимым.
3.Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого, сносим следующий по порядку член делимого, получаем 6x>2 – 13x +12
4. Первый член остатка 6x>2 делим на первый член делимого, результат 2 есть второй член частного.
5. Множим полученный второй член частного на делитель, результат 6x>2 – 4x +12 подписываем под первым остатком.
6. Вычитаем члены этого результата из соответствующих членов первого остатка, получаем второй остаток: -9x. Его степень меньше степени делителя. Деление закончено.
.
Целая часть: 2x +2
Остаток: – 9x
Приведём более сложный пример без дополнительных пояснений.