Большинство математических пространств имеет узкоспециальные названия. И все же, многие математики мечтают, чтобы какое-нибудь из вновь появившихся на свет пространств было названо их именем[2]. Потому что главнейшие пространства, изучаемые в математике, названы именами великих. Таково, прежде всего, «пространство Евклида». Таковы «пространство Гильберта» и «пространство Банаха» (первое является частным случаем второго). Таковы же и «пространство Римана», «пространство Лобачевского», «пространство Эйнштейна». Эти последние нам еще понадобятся, потому что они имеют прямое отношение к основному предмету настоящей статьи – к пространству без определений и дополнений, к «просто пространству», к «Пространству» с большой буквы.

Давайте не будем углубляться в философскую схоластику, а примем точку зрения «наивного реализма». То есть, признаем безоговорочно, что это пространство существует, что мы в нем живем, и что оно, наряду со временем, является первейшей из данных нам данностей. Относительно него мы можем ставить чисто естественно-научные вопросы. Как это пространство устроено? Что мы о нем знаем? К какому классу пространств, используемых в математике, оно принадлежит?

Существуют и другие вопросы, относящиеся к сфере гуманитарной культуры – почему слово «пространство» занимает такое исключительное место в нашем языке, во всех языках, почему оно столь широко используется в абсолютно разных сферах человеческой деятельности, почти не имеющих между собой пересечений? Почему мы его так часто употребляем? Попробуем ответить сначала на второй вопрос. Ответ кажется довольно очевидным и состоит в следующем. Мы относимся к пространству весьма эмоционально. Иначе невозможна была бы ни скульптура, ни архитектура, ни живопись. Пространство интимно близко нам. Каждую минуту это ощущают только люди с психическими отклонениями, для которых пространство является источником беспокойства и страха. Существует «клаустрофобия» – боязнь замкнутого пространства, существует и «агорафобия» – боязнь открытого пространства. Здесь показывает свою вершину необъятный айсберг эмоционального отношения к пространству, скрытый в нашем подсознании. Именно этот эмоциональный айсберг и заставляет нас постоянно обращаться к слову «пространство» в нашей речи, именно его существование делает пространство предметом искусства.

Чтобы ответить на первый вопрос и продвинуться дальше, мы должны сделать одно утверждение, избежать которого не удастся. С любой точки зрения – и с рациональной, и с эмоциональной – основным атрибутом пространства является протяженность, длина. И мы сознательно или бессознательно сопоставляем ее с размерами нашего тела. Отсюда идут все старинные меры длины. Фут – это просто foot, нога (в данном случае – ступня), а миля – тысяча двойных шагов римского легионера. Конечно, метр – по замыслу его изобретателей – одна десятитысячная доля четверти земного меридиана. Здесь дышит совсем иной дух – дух эпохи Просвещения, дух энциклопедистов. Но, в конце концов, это ведь тоже около трех футов. Такой выбор мер длины определился удобством и практическими нуждами.

Но соотношение размеров пространства с нашими обыденными длинами имеет и концептуальное значение. Эмоционально мы совершенно по-разному воспринимаем пространство размером с чайную чашку и пространство размером с Тихий океан. С точки зрения физики тоже совершенно не очевидно, что пространство размером с атомное ядро имеет те же свойства, что пространство масштаба звездных расстояний. Между этими масштабами разница, как минимум, в тридцать порядков величины. И тем не менее, оказывается (это эмпирический факт), что свойства пространства столь разных масштабов вполне тождественны. Всюду это одно из простейших с точки математики пространств – трехмерное ортогональное вещественное пространство Евклида. В нем выполняется теорема Пифагора и справедлив пятый постулат – через данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой. Иначе говоря, в нем справедлива та геометрия, которую мы учили в школе.