Сравним (15) с известным законом колебательного движения

x = A sin (ωt + φ_>0).

Как видим, δ совпадает по смыслу с циклической частотой ω. Отсюда, воспользовавшись соотношением для периода колебаний T = 2π/ω, получаем формулу для промежутка времени положительного восприятия рекламы:

где δ вычисляется из (8). Для определения численных значений коэффициентов, входящих в (8), возможно использование эконометрических методов.

Рис. 1. Чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы

К настоящему времени в экономике системные закономерности наиболее подробно рассмотрены в математических моделях экономического роста крупных регионов, например городов, областей, государств (см., например, [7,14]). При этом в качестве переменных величин, как правило, выбирались национальный доход, капитал, средний уровень зарплаты, цены и т. п. Модели таких систем характеризуют результаты согласованного поведения большого количества фирм, входящих в регион. В данной главе будет проведен анализ поведения отдельной фирмы, для которой экономика региона играет роль внешней среды.

Мы рассмотрим фирму, обладающую следующими средними (по региону) показателями: числом сотрудников и величиной оборотного капитала. Главная задача данного раздела – раскрыть важную роль управляющих параметров, которую они играют при выборе системой пути к тому или иному устойчивому состоянию.

Вначале мы построим общую математическую модель поведения средней фирмы. Затем в качестве примера найдем устойчивые состояния предприятия, занимающегося конкретным видом деятельности, например страхованием.

(Изложение данного раздела следует работам [26, 28].) Пусть в фирме работает Y_>1 сотрудников, а ее капитал, выраженный в некоторых условных единицах, равняется Y_>2. Необходимо определить, возможно ли в такой системе устойчивое состояние и какому типу устойчивости оно соответствует?

Поиск устойчивых стационарных состояний проведем с помощью линейного анализа устойчивости. Для этого воспользуемся его схемой (см. Приложение П2.2).

2.1.1. Начнем с составления эволюционного уравнения. Левая часть эволюционного уравнения представляет собой производные первого порядка от величин, принятых в качестве переменных (см. (П6)^>3). В нашем случае речь идет о Y_>1 и Y_>2:

Сформулируем первую главную пропорцию^>4:

скорость роста числа сотрудников (dY_>1/dt) пропорциональна числу новых сотрудников минус ту ее часть, которая связана с количеством уволившихся.

При этом количество новых сотрудников пропорционально капиталу фирмы (~Y_>2, так как в среднем люди предпочитают работать в более богатой фирме), а количество уволившихся составляет некоторую долю от числа имеющихся (~Y_>1). Заменяя знаки пропорции (~) на коэффициенты пропорциональности, первую главную пропорцию приводим к следующему уравнению:

где α – коэффициент пропорциональности, показывающий, какую часть своего капитала может выделить фирма, чтобы привлечь новых сотрудников; γ – коэффициент пропорциональности, обобщающий в себе различные причины, в результате которых сотрудник может уволиться (или его уволят).

Cформулируем вторую главную пропорцию:

скорость увеличения капитала пропорциональна прибыли от вложения капитала минус расходы на сотрудников.

При этом прибыль от вложения капитала пропорциональна величине вложенного капитала (~