Постоянная α появляется как коэффициент пропорциональности в уравнении (3), отвечающим за потенциальное действие рекламы. Отсюда смыл этого коэффициента заключается в том, что он обобщает собой условия, благоприятные для создания рекламы. Благоприятные потому, что, как видно из (3), чем больше значение α, тем больше a – потенциальное действие рекламы. В частности, α будет иметь малое значение в том обществе, в котором не используются современные рекламные технологии, и большое значение в противоположном случае.
Постоянная γ появляется как коэффициент пропорциональности в группе факторов F>1. Чем больше значение γ, тем больше влияние F>1 на а, и наоборот. Поэтому γ должна характеризовать степень доступности товара в данном регионе.
Постоянная β является коэффициентом пропорциональности в группе факторов F>2. От ее значения зависит, как изменение дохода (dy/dt) среднего покупателя сказывается на восприятии им (покупателем) рекламы. Если β мало, то это означает, что изменение дохода мало влияет на величину F>2. В частности, в странах с высоким уровнем жизни большинства граждан значение β должно быть достаточно малым.
Таким образом, в экономически развитых регионах α и γ должны иметь сравнительно большие значения, а β – малое. Поэтому β>2 – 4αγ < 0, т. е. в выражении для k>1,2 разность под корнем имеет отрицательный знак. Следовательно, k>1,2 – комплексные:
где
Как видим, k>1,2 соответствуют 4-му типу решения ОЛУ (см. Приложение, раздел П1.3). В этом случае решением уравнения (7) является выражение
y* = е>– ηt (A>1 cos δt + A>2 sin δt), (9)
где A>1 и A>2 − константы интегрирования.
Частное решение y>1 определим по виду правой части уравнения, в качестве которой в (5) выступает a/α. Последнее соответствует первому виду правой части НОЛУ (см. Приложение, раздел П1.4), а именно
f (t) = p (t) e >γt. (10)
Действительно, для уравнения (5) функцию f (t) можно записать как
Сравнивая между собой (10) и (11), находим, что в нашей задаче
Напомним, что число, возведенное в степень, равно единице только в том случае, если степень равна нулю. Следовательно, γ = 0. Как видим, γ не совпадает с корнями характеристического уравнения k>1,2. Поэтому для y>1 выбираем первый тип решения (выбираем пункт 1.а из раздела П1.4 Приложения):
y>1 = q(t) e>γt = q(t)
(e>γt = 1, см. (12)). Определим вид q (t). Для этого учтем, что: а) q (t) – многочлен той же степени, что и р (t); б) в нашем случае р (t) – многочлен нулевой степени:
Следовательно, и q(t) является многочленом нулевой степени, т. е. является постоянной величиной. Обозначим эту постоянную, например, с: q(t) = c. Тогда
y>1 = q(t) = c. (13)
Постоянную с найдем, подставив y>1 в (5):
Воспользуемся (13):
Здесь мы учли, что
Найденное значение с подставим в (13):
– частное решение уравнения (5). Его общее решение запишем по формуле (6) (y* возьмем из (9)):
Выражение в скобках можно упростить, заменив постоянные A>1 и A>2 на новые постоянные A и φ>0 по формулам
A>1 = A sin φ>0 и A>2 = A cos φ>0
(легко увидеть, что
A>1 cos δt + A>2 sin δt = A (sin φ>0 cos δt + cos φ>0 sin δt) = A sin (δt + φ>0).
В результате (14) примет вид
Уравнение (15) представляет собой формулу зависимости от времени количества товара, приобретаемого благодаря действию рекламы.
Из (15) следует, что если рекламировать товар с постоянной интенсивностью достаточно долго (a = const), то начнутся колебания y вокруг постоянного значения a/γ, т. е. возникнет чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы (см. рис. 1).