Ситуация 2: µ < γ.

Соответствующее распределение знаков величин из (20) имеет вид

Данное выражение совпадает с (П25). В этом случае стационарное решение (19) является устойчивым фокусом, а фазовая траектория представляет собой спираль, сходящуюся к началу координат (рис. П2). Следовательно, число сотрудников Y_>1 уменьшается.

Но опять-таки из-за разновеликости β и µ неизбежно наступит момент, когда, начиная с некоторого значения Y_>1, прирост капитала dY_>2/dt из (18) окажется положительным. При этом причин для увольнения станет меньше (сотрудников останется настолько мало, что фирма сможет достойно оплачивать их труд). Как следствие, значение коэффициента γ понизится. Это приведет фирму снова к ситуации 1. Затем все повторяется.

2.1.5. На рис. 2 показана «сшивка» эволюционных диаграмм двух описанных ситуаций. Линией с пониженной яркостью обозначены фазовые траектории переменных Y_>1 и Y_>2. Огибающие этих траекторий выделены.

Как видно из рисунка, существует пороговое значение числа сотрудников Y_>1*, при пересечении которого меняется направление движения системы по осям. В точке Y_>1 = Y_>1* действия спиралей устойчивого и неустойчивого фокусов взаимно уравновешиваются. Благодаря этому фазовая диаграмма в координатах Y_>1 и Y_>2 приобретает вид замкнутой траектории и соответствует устойчивому предельному циклу (см. рис. 19).

Вывод о существовании здесь предельного цикла также следует из применения теоремы Пуанкаре − Бендиксона. Согласно этой теореме, если некоторая полутраектория остается внутри конечной области и не касается каких-либо особых точек, то эта полутраектория является предельным циклом, при этом внутренняя граница области может быть стянута в точку-источник (см., например, [19]). В рассматриваемой задаче неустойчивый фокус выступает в роли источника, а устойчивый фокус ограничивает систему сверху.

Таким образом, фирма с течением времени стремится к устойчивому состоянию, представляющему собой колебания вокруг оптимального числа сотрудников Y_>1* (рис. 3). Это оптимальное число сотрудников зависит от соотношения величин β и µ − соответственно коэффициента затрат на сотрудников и коэффициента, связанного с прибылью.

Рис. 2.

Рис. 3. Колебания числа сотрудников фирмы вокруг оптимального значения Y_>1*

2.1.6. Система уравнений (18) была записана в предположении, что коэффициент γ является постоянной величиной. В связи с этим необходимо сделать следующее замечание. Как мы видели, в каждой из описанных ситуаций всегда наступал такой момент времени, когда γ изменялся. Этот факт явно указывает на зависимость данного коэффициента от времени. Однако на практике временной промежуток, в течение которого γ изменяется заметно, оказывается значительно меньше, чем длительность существования фирмы в любой из ситуаций. Поэтому мы имели полное право в пределах отдельной ситуации полагать γ постоянным.

2.1.7. Основанная на линейном анализе устойчивости методика поиска устойчивых состояний является общей для систем, имеющих различную природу. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в разделе 2.3 рассмотрена задача, в которой так же осуществлен поиск асимптотически устойчивого стационарного состояния (т. е. аттрактора, см. раздел П5.6), но теперь уже в физической системе – генераторе Ван дер Поля. Генератор Ван дер Поля представляет собой колебательную систему с нелинейными свойствами и часто используется в теоретических исследованиях, связанных с электроникой. Как показано в разделе 2.3, в пространстве двух переменных устойчивым стационарным состоянием генератора является предельный цикл.