Таким образом, в обоих этих случаях два количества с разными знаками, разделенные одно на другое, дают в качестве своих коэффициентов количества -.

Наконец, если мы делим -количество на -количество, в зависимости от того, что мы берем в качестве делителя, то и здесь, как в случае с +количеством, делитель должен быть 4-количеством, чтобы, по тому же правилу умножения, при умножении на -делитель он был равен -делителю.

Все это, я полагаю, не более чем явное подчеркивание того, что имеется в виду, когда в оправдание правила знака при алгебраическом делении коротко говорят: «Это правило следует из того, что произведение делимого и делителя должно быть равно делителю».13

Обоснование правила знака при умножении – действительно важный момент.

Именно в силу необходимой гармонии с этим высшим обобщением отрицательных величин та форма высказывания, которую алгебра выбирает в качестве той, в которую она переводит все общие результаты, из которых можно вывести решение конкретных случаев, а также все выкладки, которые к ним приводят, – я имею в виду форму уравнения, – сама является высшим примером обобщения процессов, или операций с числами или величинами. Демонстрация равенств является суммой и содержанием всех точных измерений. В конкретном объекте вычислений, которым является число или количество, утверждение равенства, выражением которого является знак =, занимает место копулы в утвердительных суждениях логического мышления в целом. Оно говорит гораздо больше, чем простая копула is, а именно то, что два числа или количества, между которыми оно стоит или которые оно уравнивает, являются в количественном отношении конвертируемыми. Отсюда следует, что уравнение – это логически обратимое суждение, или два простых логических суждения, A есть B и B есть A, в одном; это стало возможным благодаря ограничению предмета уравнения только количеством или числом. Отрицание равенства, если таковое имеется между рассматриваемыми величинами или числами, затем отбрасывается, не как в просто отрицательных логических суждениях, в копулу is-not, как в A не B, а в один или оба термина уравнения, как в

a + x = b, где x обозначает разницу, какой бы она ни была, между b и a; это уравнение можно также выразить как x = b – a, или снова как a – b + x = 0.

Алгебра, таким образом, может быть названа, по аналогии, логикой чистого числа или количества, причем знак = принимается в качестве копулы всех ее суждений или выкладок.

Переходя от уравнений как общих формул к их интерпретации в конкретных случаях, я взял следующее из примеров «замены цифр буквами», приведенных в статье «Алгебра» в Британской энциклопедии; отчасти потому, что оно показывает, как в алгебре используются символы, обозначающие ничто, 0, называемый нулем, и бесконечность, co, :

«Если a = ½, b = ⅓, c = ¼, x = 0, то найдите значение

a^>2 – b^>2/x – b^>2 – c^>2/x^>2

Первый член бесконечен, а второй бесконечно больше первого, так как x^>2 = x * x. Ответ: -∞».14

Нуль, или 0, и бесконечность, или ∞, используются здесь точно так же, как если бы они были реальными величинами. Логическое обоснование этого, как я полагаю, двояко: (1) в вычислениях мы всегда, по предположению, имеем дело с количеством или числом, и никогда – с чем-то, что не является количеством или не числом, и (2) место, в котором или точка, в которой появляется количество или число, в вычислительных операциях всегда определяет его значение. Теперь ноль, или 0, – это место или точка посередине между положительными, или +, и отрицательными, или -, величинами. Как алгебраическая величина он больше любого минуса или отрицательного значения. Аналогично с бесконечными величинами, или ∞. Одна из них может быть больше или меньше другой, в зависимости от места, которое они соответственно занимают в вычислениях, с помощью которых к ним приходят. Обоснованность этого утверждения основывается на двойном характере, отмеченном выше, как присущем всем числам, (1) как акту счета, (2) как единице или группе единиц, которые подсчитываются. Ноль, как подсчитанное количество, означает отсутствие числового содержания в определенном месте, полученном при вычислении, то есть в серии актов счета, как, например, при вычитании (скажем) 9 из 9; бесконечность, как подсчитанное количество, положительное или отрицательное, означает наличие числового содержания, превышающего любое поддающееся определению содержание, в определенном месте, полученном аналогичным образом, как, например, при умножении 0 на 0 (x на x) в приведенном выше примере.