Задачи для самостоятельного решения:

1.3.1. Точки равновесия модели располагаются там, где график зависимости  от  пересекает прямую линию

. Предположим, что фокусируемся на участке графика вокруг точки равновесия и увеличиваем масштаб так, чтобы график функции  от  казался прямой линией. В каждой из моделей, показанных на рисунке 1.8, решите, является ли равновесие стабильным или нестабильным, выбрав значение  близкое к устойчивому состоянию, а затем изобразите паутинную диаграмму.

а.

б.

в.

г.

Рисунок 1.8. Заготовки паутинных диаграмм для задачи 1.3.1.

1.3.2. Исходя из приведенной выше задачи, в каком диапазоне должен находиться наклон графика функции

 от  в точке равновесия, чтобы обеспечить стабильность? Неустойчивость? Подсказка: возможно, захотите подумать об особых случаях, взяв наклон сначала −1, а затем 1.

1.3.3. Средствами математического анализа сформулируйте ответ на предыдущую задачу на языке производных: если

 является точкой равновесия модели , то она стабильна, когда выполнено следующее условие _________________ .

1.3.4. С точки зрения математики, имея дело с логистической моделью роста

, всегда можно выбрать единицы, в которых измеряется  так, чтобы .Таким образом, можно рассматривать уравнение , имеющее только один параметр , а не два. Исследуйте долгосрочное поведение этой модели для различных значений , начиная с .5 и постепенно увеличивая его, используя программу onepop.m для MATLAB из задачи 1.2.4. При каких значениях  обнаруживается сходимость к равновесию без колебаний? А при каких  сходимость к равновесию осуществляется с колебаниями? При каких  появляется 2-цикл? А при каких – цикл длины 4?

1.3.5. В предыдущем упражнении обнаружили, что по мере увеличения

 после значения 2 популяция перестанет стремиться к  и вместо этого попадет в цикл длины 2 и более.

а. Покажите, что, несмотря на срыв модели в 2-цикл, единственными точками равновесия по-прежнему являются

 и 1.

б. Если  попадает в 2-цикл, то

. Поэтому, возможно, стоит найти формулу для  выраженного через . Сделайте это для  и . Ответ должен оказаться многочленом четвертой степени.

в. Можно ли использовать полученные результаты из части (б) для поиска аналитических формул точек равновесия в 2-цикле, приравняв

? Попробуйте. Не всё может получиться с первого раза, но, по крайней мере, попробуйте объяснить те сложности, с которыми столкнулись.

1.3.6. Для каждого из следующих пунктов определите точки равновесия.

а.

б.

в.

г.

д.

1.3.7. Для пунктов (а–д) из предыдущей задачи алгебраическими преобразованиями линеаризуйте модель сначала на устойчивом состоянии 0, а затем на другом устойчивом состоянии для определения типа их устойчивости.

1.3.8. Вычислите все точки равновесия модели . Затем используйте чисто алгебраические средства для линеаризации в каждой из этих точек, чтобы определить, когда они стабильны или нестабильны.

1.3.9. Средствами математического анализа повторите решение предыдущей задачи используя производные для определения устойчивости равновесий

. Конечно, должны получиться те же ответы.

1.3.10. Несколько иной подход к поиску соотношения между производными и стабильностью заключается в следующем: найдите приближение касательной прямой к

 в точках равновесия  и .  После этого замените  найденными линейными приближениями в уравнении . Используйте это для определения типа стабильности точек равновесия. Полученный результат должен совпадать с ответами из двух предыдущих задач.

1.3.11. Моделирование многих социальных процессов связано с диффузией. Даже на уровне математических идей их взаимное проникновение между самыми разными отраслями очень заметно. Простым примером является найм выпускников математических специальностей на работу программистами (верно и обратное, квалифицированные программисты как правило дополнительно получают качественную математическую подготовку). Простая модель представляет социальную группу программистов как единый пул с концентрацией незаурядных умов