– Если я докажу, что прямые лежат на одной линии, то тем самым докажу, что это одна прямая (поскольку прямая – это линия, равномерно лежащая на своих точках).

И наоборот:

– Если я скажу: «у всякого треугольника две стороны больше третьей», то я беру треугольник как данное.

– Но если я возьму квадрат ABCD, проведу диагональ BΓ, разделю ее пополам в точке E и проведу из углов CAB и BΔΓ к точке E прямые AE и EΔ, то вопрос будет: «является ли AΓΔ треугольником?» – и это станет искомым.

Однако есть данные, которые никогда не становятся искомыми. Например:

– Если я скажу: «переместить данную величину», то сама величина никогда не будет искомой.

– Если я скажу «сфера», то никогда не сделаю ее искомой – она всегда дана.

– Круг в планиметрии всегда дан, но в стереометрии он может быть искомым, как в теореме: «если сфера пересечена плоскостью, сечение есть круг».

Никто не спрашивает: «есть ли это сфера?», «есть ли это круг?», «есть ли это величина?» – ведь они воспринимаются чувствами.

Способы предварительного познания.

Способы, через которые что-то познается заранее, два:

1. Что это или что означает,

2. Что оно есть.

В случае данного нужно заранее знать и что оно есть, и что означает (или что это).

В случае искомого – не что оно есть, а только что означает (или что это), ибо если бы мы знали, что оно есть, оно не было бы искомым.

Например:

– Для данной конечной прямой нужно заранее знать и что она есть, и что означает «прямая» и «конечная».

– Для искомого (равностороннего треугольника) – только что означает «равносторонний треугольник».

В случае аксиом нужно знать только что они есть. Если кто-то спросит: «разве не нужно знать и что они означают?», ответим:

– Это подразумевается само собой, ибо невозможно знать что что-то есть, не зная что оно означает (как нельзя знать, что есть трагелаф, не зная, что он означает).

– Однако можно знать что что-то есть, не зная что оно означает.

Кроме того, что означает относится не ко всем предложениям, а только к терминам. Поэтому для данного и искомого (которые суть термины) нужно знать что они означают, а для аксиом (которые суть предложения) – только что они есть.

Виды аксиом

Аксиомы бывают:

1. Общие для всех наук (например, «всякое утверждение либо истинно, либо ложно»).

2. Применимые к нескольким наукам (например, «равные одному и тому же равны между собой» – используется в музыке, геометрии, арифметике).

3. Специфичные для одной науки (например, «накладывающиеся друг на друга фигуры равны» – только в геометрии).

p. 71a 13 «Необходимо заранее знать двояким образом и то, что следует далее».

Сказав, что «необходимо заранее знать двояким образом», он добавляет три способа: говорит, что одно необходимо предварительно усвоить как то, что оно есть, другое – нужно понимать, что означает сказанное, третье – и то, и другое. И причина ясна из сказанного: есть три вещи, которые нужно предварительно усвоить для всякого знания, но способы, по которым их следует познавать, – два: что оно есть и что означает.

p. 71a 13 Например, что «всякое [утверждение] либо истинно, либо ложно» – это «что оно есть».

Это пример аксиомы, в которой нужно заранее знать только что оно есть.

p. 71a 14 А «треугольник» – что он означает вот это.

Это пример искомого, в котором нужно заранее знать что он означает.

p. 71a 15 А «единицу» – и то, что она означает, и то, что она есть.

Это пример данного, в котором принимаются оба способа предварительного знания. Ибо часто мы принимаем единицу как данное. Например, если единица измеряет число, а другое число в свою очередь измеряет иное число, то единица будет измерять третье так же, как второе – четвёртое. Ибо необходимо заранее знать и что это есть единица, и что означает имя «единица».