«Рассмотрим покоящееся тело массой m. Предположим, что это тело одновременно излучает два фотона в прямо противоположных направлениях. Оба фотона имеют одинаковые частоты ω и значит, одинаковые энергии E = ℏω, а также равные по величине и противоположные по направлению импульсы. В результате излучения тело теряет энергию

ΔE=2ℏω (9)

Потеря импульса равна нулю, и, следовательно, тело после излучения двух квантов остается в покое.

Рассмотрим теперь ту же картину с точки зрения наблюдателя, который движется по оси x влево (т.е. в отрицательном направлении оси x, направленной вправо) с малой скоростью v. Такой наблюдатель увидит уже не покоящееся тело, а тело, движущееся с малой скоростью вправо. Величина этой скорости равна v, а направлена скорость в положительном направлении оси x. Тогда частота, излучаемая вправо, будет определяться формулой (7) для случая излучения вперед (эффект Доплера):

ω′=ω * (1+ vc).

Соответственно, частота фотона, излучаемого движущимся телом влево, определяется формулой (8) для случая излучения назад:

ω″=ω * (1— vc).

Поскольку, из-за эффекта Доплера, частоты излучения вперед и назад различны, энергия и импульс у излученных квантов также будут различаться. Квант, излученный вперед, будет иметь энергию

E′=ℏω′=ℏω * (1+ vc)

и импульс

p′=ℏω′/c=ℏω * (1+ vc) /c.

Квант, излученный назад, будет иметь энергию

E″=ℏω″=ℏω * (1— vc)

и импульс

p″=ℏω″/c=ℏω * (1— vc) /c.

При этом импульсы квантов направлены в противоположные стороны.

Важно здесь подчеркнуть, что это один и тот же процесс, но с точки зрения разных наблюдателей. Один наблюдатель покоится относительно излучающего тела, а второй – движется.

Подсчитаем баланс энергии и импульса для второго случая. Потеря энергии в системе координат, где излучатель имеет скорость v, равна

ΔE′ = E′ + E″ = ℏω * (1+vc) + ℏω * (1 – vc) = 2ℏω = ΔE,

т.е. она такая же, как и в системе, где излучатель покоится (см. формулу (9)). Но потеря импульса в системе, где излучатель движется, не равна нулю, в отличие от системы покоя:

Δp′ = p′ – p″ = ℏω * (1+ vc) /c – ℏω * (1- vc) /c = (2ℏω/c) * v/c =

= ΔEv/c^>2 (10)

Движущийся излучатель теряет импульс ΔEv/c^>2 и, следовательно, должен, казалось бы, тормозиться, уменьшать свою скорость. Но в системе покоя излучение симметрично, излучатель не меняет скорости. Значит, скорость излучателя не может измениться и в той системе, где он движется. А если скорость тела не меняется, то как оно может потерять импульс?

Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, как записывается импульс тела массой m:

p = mv

– импульс равен произведению массы тела на его скорость. Если скорость тела не меняется, то его импульс может измениться только за счет изменения массы:

Δp = Δmv

Здесь Δp – изменение импульса тела при неизменной скорости, Δm – изменение его массы.

Это выражение для потери импульса надо приравнять к выражению (10), которое связывает потерю импульса с потерей энергии. Мы получим формулу

ΔE/ (c^>2v) = Δmv,

или

ΔE = Δmc^>2,

которая означает, что изменение энергии тела влечет за собой пропорциональное изменение его массы. Отсюда легко получить соотношение между полной массой тела и полным запасом энергии:

E = mc^>2»

Источник: http://www.physbook.ru/index.php/Kvant._Вывод_формулы_E_%3D_mc2#.D0.92.D1.8B.D0.B2.D0.BE.D0.B4_.D1.84.D0.BE.D1.80.D0.BC.D1.83.D0.BB.D1.8B_E_.3D_mc2

«Важно здесь подчеркнуть, что это один и тот же процесс, но с точки зрения разных наблюдателей.»