В ХХ веке формальная логика усложнилась, появились: математическая, вероятностная и другие неклассические логики. Для определённых целей стали создаваться специальные логики со своим набором аксиом. Внутри самих таких логических систем возникающие противоречия тоже считаются ошибкой.

Наиболее последовательно характер формальной логики выражен в математике. Сложение и вычитание, умножение и деление – нигде мы не видим нарушение её законов.

Но оказалось, что и в математике есть проблемы с непротиворечивостью.

Например, имеем два неравных числа a и b. Находим их разность:

a – b = c.

Умножаем обе части уравнения на (a – b). Получаем:

a² – ab – ab + b² = ac – bc.

Переносим:

a² – ab  – ac = ab – b² – bc.

Выносим за скобки:

a (a – b  – c) = b (a – b – c).

Сокращаем на (a – b – c).

В результате получаем: a = b.

Как видим, нарушения правил нет, а вывод противоречит условию.

Мало того, как доказал математик Курт Гёдель (1906—1978), непротиворечивых логических систем невозможно создать в принципе. Поэтому все логические системы содержат в качестве аксиом те или иные запреты. В нашем случае существует запрет деления на ноль (a – b – c = 0). Это означает, что наша логика противоречива, она не может адекватно отражать окружающий нас мир. Но возможно, что и сам мир нелогичен.

В математике противоречия часто носят характер парадоксов. В теории множеств, претендующей на объединение всех математических наук (согласно этой теории, математика – это операции с множествами), был открыт так называемый парадокс Бертрана Рассела: «Является ли множество всех множеств подмножеством самого себя?» Его примерная нематематическая формулировка: «Солдату приказали брить только тех солдат, которые не бреются сами. Должен ли он брить себя сам?» Здесь получается, что если солдат бреется сам, то он не должен брить себя, но в этом случае он, как не бреющий себя сам, должен брить себя.

Парадоксы были известны ещё древним грекам. Например, парадокс «Лжец». Критянин Эпименид сказал, что все критяне лжецы. Солгал ли он? (То есть лжёт ли человек, если он утверждает: «Я лгу»? )

К парадоксам относятся и апории Зенона: «Стрела» [Летящая стрела не летит, так как чтобы лететь, надо быть в этом месте и в то же время не быть в нём.], «Ахиллес и черепаха» [Самый быстрый бегун Ахиллес не догонит черепаху, потому что он всегда будет бежать то расстояние, которое она проползла ранее.], «Дихотомия» [Ахиллес не догонит черепаху, даже если она не поползет, потому что, чтобы дойти до неё, надо сначала пройти половину пути, а для этого надо пройти половину этой половины и т. д. – он всегда будет идти первые половинки пути.], «Стадион» [Любой отрезок пути можно поделить на две половинки.].

Что же делать, если рассуждение приводит к противоречию?

Выход находят либо в ограничении правил самой логики, либо в предложении новой аксиомы, позволяющей устранить возникшее противоречие. Например, в аксиоматической логике для определённой цели используют набор аксиом с запрещением закона исключения третьего. Выход из затруднений, сформулированных в апориях Зенона, нашли в принятии за аксиому положения о том, что есть расстояние и время, меньше которых уже не бывает. То есть отказались от положения о бесконечной делимости расстояния, использованного Зеноном в апориях «Дихотомия» и «Стадион». В этом случае операции с формулами дают ответ, что летящая стрела летит, Ахиллес догонит черепаху.

Чаще всего философы, сталкиваясь с противоречием в объяснении мира, предлагали новую аксиому, с помощью которой это противоречие устранялось. Посмотрим, как это происходило в истории философии.