Одним из них является использование показательной функции, или, конкретнее, так называемой формулы сложных процентов, аналогичной той, которая используется для определения величины банковского вклада, положенного на депозит:

Р_>t = Р_>0 (1 + r)^>t, (3.1)

где r – среднегодовой темп прироста, а (1 + r) соответственно – среднегодовой темп роста.

График 3.5

Динамика коэффициентов прироста населения России, 1961–2000, %

Источник: Таблица 3.2.

Величина r из этого уравнения определяется с помощью логарифмирования (обычно по основанию 10):

Для вышеприведенного примера:

или примерно 0,69 %.

Другим способом расчета, математически абсолютно тождественным первому, является извлечение корня t-ой степени из

Для вышеприведенного примера:

или

Различие между двумя последними результатами объясняется точностью вычислений.

Данное выражение не учитывает, однако, что население меняет свою численность непрерывно, а не подобно банковскому депозиту, когда процент начисляют в конце каждого периода. Чтобы учесть эффект непрерывности, для расчета среднегодовых темпов применяют формулу непрерывного коэффициента прироста, т. е. экспоненциальную функцию, в основании которой лежит число e, т. е. основание натуральных логарифмов[187]:

Отсюда:

Для вышеприведенного примера:

или примерно 0,687 %.

Среднегодовой непрерывный коэффициент прироста, как видно из проделанных расчетов, несколько меньше коэффициента, рассчитанного по формуле сложных процентов. Хотя различие между ними крайне незначительно, использование непрерывного коэффициента методически более строго, поскольку он учитывает непрерывность изменения численности населения во времени.

Среднегодовой непрерывный коэффициент прироста иногда используют для расчета так называемого периода удвоения численности населения, т. е. времени, за которое первоначальная численность населения вырастет в два раза. Если предположить, что P_>t = 2P_>0, то из выражения P_>t= P_>0e^>rtследует, что 2 = e^>rt и соответственно период удвоения (T) равен:

Поскольку ln2 ≈ 0,70, то для расчета периода удвоения достаточно 70 разделить на величину среднегодового непрерывного коэффициента прироста, выраженную в процентах. Для нашего примера (т. е. для динамики населения России за 1960–1991 гг.) период удвоения был равен:

В настоящее время, разумеется, ни о каком периоде удвоения говорить не приходится. Численность населения России снижается, и речь можно вести лишь, так сказать, о «периоде полураспада», т. е. о времени, за которое численность населения уменьшится вдвое. Этот показатель равен:

т. е., учитывая, что r в этом случае меньше 0, той же самой величине.

Если учитывать, что среднегодовые темпы снижения численности населения России за 2000–2005 гг. равны примерно —0,46 %, то период уменьшения населения вдвое равен примерно 152-м годам. При этом темпы снижения постоянно увеличиваются по абсолютной величине, а «период полураспада» соответственно уменьшается: с учетом темпов снижения за 1992–2000 гг. он был равен 259-и годам. В реальности же сокращение численности населения страны вдвое произойдет еще быстрее, чем это следует из данных за 2000–2005 гг.

График 3.6

Среднегодовые темпы прироста численности населения мира за период с 1950 по 2050 гг. по Бюро цензов США, %.

Источник: U.S. Census Bureau, International Data Base. Data updated 4-26-2005 (Release notes).

Минимальные значения периоды удвоения численности населения мира (32 года) имели место в 1962 и 1963 гг. С тех пор происходило медленное и неуклонное снижение скорости увеличения численности населения мира. Современная ситуация в мире, в основных регионах и отдельных странах отражена в табл. 3.3, в которой приведены данные официального прогноза ООН (пересмотр 2004 г., средний вариант)