Это и есть левое внешнее соединение, полученное, как можно видеть, объединением декартового произведения исходных отношений-операндов r_>1 и r_>2 и отношения r_>7 (S_>2∪ S_>1), определенного в пункте пятом.

Теперь у нас имеются все необходимые выкладки для определения не только операции левого внешнего соединения, но по аналогии и для определения операции правого внешнего соединения. Итак:

1) операция левого внешнего соединения в строгом формулярном виде выглядит следующим образом:

2) операция правого внешнего соединения определяется подобным образом операции левого внешнего соединения и имеет следующий вид:

Эти две производные операции имеют всего два свойства, достойные упоминания.

1. Свойство коммутативности:

1) для операции левого внешнего соединения:

2) для операции правого внешнего соединения:

Итак, мы видим, что свойство коммутативности не выполняется для этих операций в общем виде, но при этом операции левого и правого внешнего соединения взаимно обратны друг другу, т. е. выполняется:

1) для операции левого внешнего соединения:

2) для операции правого внешнего соединения:

2. Основным свойством операций левого и правого внешнего соединения является то, что они позволяют восстановить исходное отношение-операнд по конечному результату той или иной операции соединения, т. е. выполняются:

1) для операции левого внешнего соединения:

2) для операции правого внешнего соединения:

Таким образом, мы видим, что первое исходное отношение-операнд можно восстановить из результата операции левого правого соединения, а если конкретнее, то применением к результату этого соединения (r_>1 × r_>2) унарной операции проекции на схему S_>1, [S_>1].

И аналогично второе исходное отношение-операнд можно восстановить применением к результату операции правого внешнего соединения (r_>1 × r_>2) унарной операции проекции на схему отношения S_>2.

Приведем пример для более подробного рассмотрения работы операций левого и правого внешних соединений. Введем уже знакомые нам отношения r_>1(S_>1) и r_>2(S_>2) с различными схемами отношения:

r_>1(S_>1):

r_>2(S_>2):

Несоединимый кортеж левого отношения-операнда r_>2(S_>2) – это кортеж {d, 4}. Следуя определению, именно им следует дополнить результат внутреннего соединения двух исходных отношений-операндов.

Условие внутреннего соединения отношений r_>1(S_>1) и r_>2(S_>2) также оставим прежнее: P = (b1 = b2). Тогда результатом операции левого внешнего соединения будет следующая таблица:

r_>1(S_>1) →× _>Pr_>2(S_>2):

Действительно, как мы можем видеть, в результате воздействия операции левого внешнего соединения, произошло пополнение результата операции внутреннего соединения несоединимыми кортежами левого, т. е. в нашем случае первого отношения-операнда. Пополнение кортежа на схеме второго (правого) исходного отношения-операнда по определению произошло при помощи Null-значений.

И аналогично результатом правого внешнего соединения по тому же, что и раньше, условию P = (b1 = b2) исходных отношений-операндов r_>1(S_>1) и r_>2(S_>2) является следующая таблица:

r_>1(S_>1) ←× _>Pr_>2(S_>2):

Действительно, в этом случае пополнять результат операции внутреннего соединения следует несоединимыми кортежами правого, в нашем случае второго исходного отношения-операнда. Такой кортеж, как не трудно видеть, во втором отношении