Здесь P = P <S_>1 ∪ S_>2> – условие, накладываемое на объединение двух схем исходных отношений-операндов. Именно по этому условию и происходит отбор кортежей из отношений r_>1 и r_>2 в результирующее отношение.

Следует отметить, что операция внутреннего соединения может применяться к отношениям с разными схемами отношений. Эти схемы могут быть любыми, но они ни в коем случае не должны пересекаться.

Кортежи исходных отношений-операндов, попавшие в результат операции внутреннего соединения, называются соединимыми кортежами.

Для наглядного иллюстрирования работы операции внутреннего соединения, приведем следующий пример.

Пусть нам даны два отношения r_>1(S_>1) и r_>2(S_>2) с различными схемами отношения:

r_>1(S_>1):

r_>2(S_>2):

Следующая таблица даст результат применения операции внутреннего соединения по условию P = (b1 = b2).

r_>1(S_>1) × _>Pr_>2(S_>2):

Итак, мы видим, что действительно «слипание» двух таблиц, представляющих отношения, произошло именно по тем кортежам, в которых выполняется условие операции внутреннего соединения P = (b1 = b2).

Теперь на основании уже введенной операции внутреннего соединения мы можем ввести операцию левого внешнего соединения и правого внешнего соединения. Поясним.

Результатом операции левое внешнее соединение является результат внутреннего соединения, пополненный несоединимыми кортежами левого исходного отношения-операнда. Аналогично результат операции правого внешнего соединения определяется как результат операции внутреннего соединения, пополненный несоединимыми кортежами стоящего справа исходного отношения-операнда.

Вопрос, чем же пополняются результирующие отношения операций левого и правого внешнего соединения, вполне ожидаем. Кортежи одного отношения-операнда дополняются на схеме другого отношения-операнда Null-значениями.

Стоит заметить, что введенные таким образом операции левого и правого внешнего соединения являются производными операциями от операции внутреннего соединения.

Чтобы записать общие формулы для операций левого и правого внешнего соединений, проведем некоторые дополнительные построения.

Пусть нам даны два отношения r_>1(S_>1) и r_>2(S_>2) с различными схемами отношений S_>1 и S_>2, не пересекающимися друг с другом.

Так как мы уже оговаривали, что операции левого и правого внутреннего соединения являются производными, то мы можем получить следующие вспомогательные формулы для определения операции левого внешнего соединения:

r_>3 (S_>2 ∪ S_>1) — это просто результат внутреннего соединения отношений r_>1(S_>1) и r_>2(S_>2). Левое внешнее соединение является производной операцией именно от операции внутреннего соединения, поэтому мы и начинаем наши построения с нее;

Таким образом, с помощью унарной операции проекции, мы выделили все соединимые кортежи левого исходного отношения-операнда r_>1(S_>1). Результат обозначили r_>4(S_>1) для удобства применения;

Здесь r_>1(S_>1) — все кортежи левого исходного отношения-операнда, а r_>4(S_>1) – его же кортежи, только соединимые. Таким образом, при помощи бинарной операции разности, в отношении r_>5(S_>1) у нас получились все несоединимые кортежи левого отношения-операнда;

{∅(S_>2)} — это новое отношение со схемой (S_>2), содержащее всего один кортеж, причем составленный из Null-значений. Для удобства мы обозначили это отношение r_>6(S_>2);

Здесь мы взяли полученные в пункте три, несоединимые кортежи левого отношения-операнда (r_>5(S_>1)) и дополнили их на схеме второго отношения-операнда