c. Можно различить два случая: α) общее суждение является отрицательным, частное – утвердительным; β) общее суждение является утвердительным, частное – отрицательным.

α. В общем суждении распределены оба термина, в частном – распределенных терминов нет. Поэтому в посылках распределены два термина,

β. В общем суждении распределен один термин, в частном – тоже один. Поэтому в посылках распределено два термина. Как в первом, так и во втором случае посылки содержат два, и только два, распределенных термина. Заключение, если оно существует, не может содержать более одного распределенного термина (теорема I). Заключение должно быть отрицательным (аксиома 4), и его предикат, следовательно, должен быть распределенным. Поэтому его субъект не может быть распределенным, а само заключение должно быть частным суждением.

Теорема IV. Если бо′льшая посылка является частноутвердительным суждением, а меньшая посылка – общеотрицательным суждением, то заключения не существует.

Доказательство. Поскольку, согласно допущению, меньшая посылка является отрицательным суждением, заключение, если оно существует, должно быть отрицательным суждением (аксиома 4), а его предикат, являющийся большим термином, должен быть распределенным. Поэтому больший термин должен быть распределенным в большей посылке (аксиома 2). Однако в частноутвердительном суждении не распределен ни один термин. Следовательно, заключения не существует.

Приведенные пять аксиом и данные четыре теоремы, которые мы строго доказали с помощью этих аксиом, позволяют нам перечислить все возможные виды обоснованного силлогизма. Читателю следует обратить внимание на природу нашего доказательства: было показано, что теоремы являются необходимым следствием аксиом, таким, что если принимаются аксиомы, то во избежание противоречия также должны приниматься и данные теоремы.

Прежде чем перечислить обоснованные силлогистические формы, рассмотрим некоторые силлогизмы[29]:

Несмотря на то что все приведенные силлогизмы являются правильными, они отличаются друг от друга по двум основным параметрам: 1) расположением среднего термина и 2) качественной и количественной характеристикой посылок и заключения. В первом примере средний термин является субъектом большей посылки и предикатом меньшей; во втором примере средний термин является предикатом в обеих посылках; в третьем примере средний термин – субъект обеих посылок; наконец, в четвертом примере средний термин является предикатом большей посылки и субъектом меньшей. Расположение среднего термина детерминирует фигуру силлогизма. На основе данного различия существует четыре возможные фигуры. Обозначив меньший термин, больший термин и средний термин буквами «S», «Р» и «М» соответственно, мы можем выразить в символьной форме эти четыре фигуры:

Аристотель признавал только первые три фигуры. Введение четвертой фигуры приписывается Галену, и поэтому она, как правило, называется галеновой фигурой. Логики много спорили о том, представляет ли четвертая фигура отдельный тип рассуждения, отличный от типа, представленного в первых трех, и прав ли был Аристотель или нет, не признавая данную фигуру. Если различение фигур осуществляется на основе расположения среднего термина, то, бесспорно, существует четыре разные фигуры. Однако у Аристотеля был иной принцип различения фигур. Этот принцип заключался в ширине, или протяженности, среднего термина по сравнению с другими двумя терминами. Согласно данному подходу, существует лишь три фигуры: средний термин может быть шире одного и уже другого термина, шире обоих терминов или уже каждого из них.