2. Термин, нераспределенный в посылке, не может быть распределенным в заключении.

Аксиомы качества

3. Из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого заключения.

4. Если одна посылка является отрицательной, заключение должно быть отрицательным.

5. Если ни одна посылка не является отрицательной, заключение должно быть утвердительным.

Данные аксиомы вместе с принципами условного умозаключения достаточны для того, чтобы целиком построить теорию категорического силлогизма. Аксиомы не являются независимыми друг от друга, поскольку некоторые из них можно вывести из других. Однако, несмотря на это, мы будем рассматривать все эти правила в качестве аксиоматического базиса нашего анализа.

На данном этапе мы докажем четыре теоремы.

Теорема I. Число распределенных терминов в заключении должно быть, по крайней мере, на один меньше, чем общее число распределенных терминов в посылках.

Доказательство. Число распределенных терминов в заключении не может быть больше, чем общее число распределенных терминов в посылках (аксиома 2).

Средний термин, который должен быть распределенным, по крайней мере, в одной из посылок (аксиома 1), не входит в заключение (определение среднего термина).

Следовательно, заключение должно содержать, по крайней мере, на один распределенный термин меньше, чем посылки.

Теорема II. Если две посылки являются частными суждениями, то из них нельзя получить заключения.

Доказательство. Два частных суждения в посылках могут быть а) оба отрицательными, Ь) оба утвердительными, с) одно утвердительным, а другое отрицательным.

a. Если обе посылки – отрицательные, то заключения быть не может (аксиома 3).

b. В частноутвердительном суждении ни один термин не является распределенным. Если обе посылки являются частноутвердительными суждениями, то в них не содержится распределенных терминов. Следовательно, из них не может следовать заключения (аксиома 1).

c. В частноутвердительном суждении нет распределенных терминов, а в частноотрицательном – только один. Поэтому посылки содержат один, и только один, распределенный термин. Следовательно, если существует заключение, то оно не может содержать нисколько распределенных терминов (теорема I). Однако поскольку одна посылка является отрицательной, заключение должно быть отрицательным (аксиома 4). Следовательно, по крайней мере один термин в заключении должен быть распределенным. Допущение о том, что заключение существует, требует принятия того, что в нем одновременно не содержится ни одного распределенного термина и что в нем содержится, по крайней мере, один распределенный термин. Это абсурдно. Следовательно, заключение не существует.

Теорема III. Если одна посылка является частным суждением, заключение должно быть частным суждением.

Доказательство. Посылки не могут быть вместе частными суждениями (теорема II). Следовательно, они должны различаться по количеству и быть а) оба отрицательными, Ь) оба утвердительными или с) одно утвердительным и одно отрицательным.

a. Если обе посылки являются отрицательными суждениями, то заключения не существует (аксиома 3).

b. Одна посылка является общеутвердительным суждением, другая – частноутвердительным. В общеутвердительном суждении распределенным является лишь один термин, в частноутвердительном суждении распределенных терминов нет. Поэтому посылки содержат не более одного распределенного термина. Следовательно, заключение, если таковое существует, не содержит распределенных терминов (теорема I). Однако общее суждение содержит, по крайней мере, один распределенный термин. Поэтому заключение должно быть частным суждением.